[Nierówności] nierówność cykliczna

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Nierówności] nierówność cykliczna

Post autor: justynian » 22 cze 2011, o 15:43

Niech \(\displaystyle{ a_1a_2...a_n=1}\), \(\displaystyle{ a_1,...,a_n>0}\) udowodnij:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+a_i} \le \frac{a_1+...+a_n+n}{4}}\)

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

[Nierówności] nierówność cykliczna

Post autor: pyzol » 22 cze 2011, o 17:43

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+a_i}=1-\frac{a_i}{1+a_i}}\)
Nierówność ta jest równoważna:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} \ge \frac{3n-\sum a_i}{4}\\
\sum_{i=1}^n \frac{a_1}{1+a_i} \ge n\sqrt[n]{\frac{a_1\cdots a_n}{(1+a_1)\cdots(1+a_n)}} \stackrel{*}{ \ge }\frac{n^2}{\sum a_i +n}\\
*\sqrt[n]{(1+a_1)\cdots(1+ a_n)} \le \frac{\sum a_i+n}{n}\\
\frac{n^2}{\sum a_i +n} \ge \frac{3n-\sum a_i}{4}\\
\frac{n^2}{A+n} \ge \frac{3n-A}{4}\\
4n^2 \ge (A+n)(3n-A)\\
4n^2 \ge -A^2+2An+3n^2\\
0 \ge -(A-n)^2}\)

ODPOWIEDZ