zadania z egzaminu

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
loczus91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 mar 2011, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: rzeszów

zadania z egzaminu

Post autor: loczus91 » 22 cze 2011, o 12:42

1. Wyznaczyc przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
\(\displaystyle{ \frac{e ^{2x-3} }{(x-4) ^{2} }}\)

2. Dla jakich parametrów a i b funkcja f dana wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} e ^{x} \ \ \text{dla} \ \ x \le 0 \\ ax+b \ \ \text{dla} \ \ x>0 \end{cases}}\)
jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} =0}\)?

3. Korzystając z reguły de L'Hospitala wyznaczyc granice
a) \(\displaystyle{ \lim_{ x \to\infty } x(1- e^{1/x)}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } (\ln{x}) ^{1/x}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to e } \frac{\ln{x}-1}{x-e}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( 1+\sin{ \frac{1}{x}} \right)}\) .

4.Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} \cos{(3x-3)}+2x ^{2} - 1}\) w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0} =1.}\)

5. Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji \(\displaystyle{ f(x)=(x ^{2} -1)e ^{x ^{2} +2 }}\)

6.Znaleźć najmniejsza i największą wartość funkcji\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2}\ln{x}}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{e} , e \right]}\)

7. Wyznaczyć punkty, w których styczna do krzywej \(\displaystyle{ y= \frac{x-8}{x+1}}\) tworzy z osią OX kąt \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\)

8. Wyznaczyć przedziały na których funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x ^{3} e ^{-x}}\) jest jednocześnie malejąca i wypukła.

9. Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x \sqrt{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x _{0}=1}\)

10. Wyznaczyć przedziały w których funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x\ln{ \frac{1}{x ^{2} }}}\) jest jednocześnie malejąca i wklęsła.
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 13:13 przez ares41, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

zadania z egzaminu

Post autor: adambak » 22 cze 2011, o 14:53

ale z którymi masz problem? wszystkich to nikt Ci nie rozwiąże.. nie na tym forum.. napisze do czego dochodzisz i na czym się zatrzymujesz..

loczus91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 mar 2011, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: rzeszów

zadania z egzaminu

Post autor: loczus91 » 22 cze 2011, o 15:51

proszę o rowiązania od tych zadań zależy moja osteczna ocena z egzaminu na studiach

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

zadania z egzaminu

Post autor: ares41 » 22 cze 2011, o 15:52

1.
zacznij od obliczenia pochodnej

loczus91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 mar 2011, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: rzeszów

zadania z egzaminu

Post autor: loczus91 » 22 cze 2011, o 16:59

\(\displaystyle{ \frac{e ^{2x-3} }{(x-4)^{2}} = \frac{(e ^{2x-3})'(x-4) ^{2}-(e ^{2x-3})[(x-4)^{2}]'}{(x-4^{2}) ^{2} }= \frac{(e^{2x-3} \cdot 2) \cdot (x-4)^{2}-e^{2x-3}(2x-8)}{(x-4)^{4}} = \frac{2x^{2}e^{2x-3}-16xe^{2x-3} + 32e^{2x-3}-2xe^{2x-3}+8e^{2x-3}}{(x-4)^{4}} = \frac{2x^{2}e^{2x-3}-18xe^{2x-3}+40e^{2x-3}}{(x-4)^{4}}}\)
oto policzona pochodna z zadania 1
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 19:35 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

zadania z egzaminu

Post autor: ares41 » 22 cze 2011, o 19:39

Można to jeszcze uprościć przez wyłączenie powtarzającego się w liczniku czynnika przed nawias i rozłożeniu wyrażenia, znajdującego się w tym nawiasie, na czynniki.

ODPOWIEDZ