Fourier i uproszczenia!

[kbzium]

Cześć!

Wiem, że gdy mam rozwinąć np. \(\displaystyle{ e ^{x}-1}\) to lepiej uprościć sobie życie i rozwinąć osobno \(\displaystyle{ e ^{x}}\) a potem od wyniku po prostu odjąć 1. Ale co z takimi farfoclami :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\left( 0<x \le \frac{ \pi }{2} \right) \\ \pi - x\left(\frac{ \pi }{2}<x<\frac{ 3\pi }{2} \right) \\ x-2 \pi \left( \frac{3}{2} \pi < x<2 \pi \right) \end{cases}}\)

Widać że jest ani nieparzysta, ani parzysta (bo nie jest określona na lewo), natomiast wydaje mi się, że jest antysymetryczna (wtedy \(\displaystyle{ a _{n} = 0}\)). Tak to jest? Ale nie tylko o to mi chodzi:

jeśli mamy dowolną funkcję, to mogę "przesunąć" ją w lewo tak, żeby mi się wygodnie liczyło? Czy niebardzo i po prostu męczyć się z wieloma całkami? Nie chodzi mi o rozwijanie wg sinusów/cosinusów tylko o zwykłe "rozwiń w szereg"

Dzięki!-- 22 cze 2011, o 11:43 --Wszystko jest super, jeśli mamy przedział \(\displaystyle{ - \pi ; \pi}\). Ale co jeśli mamy przedział \(\displaystyle{ 0 \le x \le a}\)?

Jak wtedy liczyć, co dobrać za l? Połowę przedziału? I wtedy od 0 do l w granicach całkowania?

[luka52]

Przedłużając ją dalej na lewo widzimy, że jest to funkcja nieparzysta.
Przy liczeniu współczynników rozwinięcia w szereg Taylora ważne by przedział całkowania był równy okresowi funkcji. Nie ma znaczenia czy będzie on przesunięty - w końcu są to funkcje okresowe i się "powtarzają".

[kbzium]

Super! Bo ja właśnie tak robiłem, ale wykładowczyni powiedziała, że jeśli funkcja jest określona tylko w [0,coś], to trzeba liczyć wszystkie współczynniki. Czyli albo nie zrozumiałem, albo ona miałą co innego na myśli, albo się pomyliła (co byłoby bardzo dziwne...)

Istnieją jeszcze jakieś uproszczenia?