Zbadać zbiezność całki

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
a83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 cze 2011, o 09:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ciechanów

Zbadać zbiezność całki

Post autor: a83 » 22 cze 2011, o 08:35

Może mi ktoś podać rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{ \infty } \frac{(\cos x) ^{4} }{1+x ^{2} } dx}\)
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 08:56 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu: \cos x

pipol

Zbadać zbiezność całki

Post autor: pipol » 22 cze 2011, o 08:53

\(\displaystyle{ \frac{(\cos x)^4}{1+x^2} \le \frac{1}{x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1.}\)

a83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 cze 2011, o 09:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ciechanów

Zbadać zbiezność całki

Post autor: a83 » 25 cze 2011, o 11:35

Stosując kryterium porównawcze
\(\displaystyle{ \frac{(cosx) ^{4} }{1+x ^{2}} \le \frac{1}{x ^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \int_{ \infty }^{1} \frac{1}{x ^{2} } dx= \lim_{t \to \infty } \int_{t}^{1} x ^{-2} dx = - \lim_{ t\to \infty } ( \frac{1}{t}-1) = 1}\)
całka jest zbieżna

a zatem
\(\displaystyle{ \int_{ \infty }^{1} \frac{(cosx) ^{4} }{1+x ^{2} } dx}\) jest zbieżna

Czy to jest poprawne rozwiązanie?

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Zbadać zbiezność całki

Post autor: Kamil_B » 25 cze 2011, o 11:47

Ok, tylko tam wszędzie powinny być odwrotnie granice całkowania np. zamiast \(\displaystyle{ \int_{ \infty }^{1}}\) powinno być \(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{\infty}}\)

ODPOWIEDZ