Punkt stacjonarny

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Dzedor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 13 paź 2009, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 13 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: Dzedor » 21 cze 2011, o 23:09

Witam,

mam problem z nastepujacym zadaniem:
dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(u,v) = u ^{2}v - u}\), gdzie u i v to funckje klasy C1 zmiennych x i y.
1. Obliczyc pochodna f po x i y.
2. Sprawdzić czy funkcja posiada punkt stacjonarny.

1. Robię tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 2u u _{x}' v + u ^{2} v _{x}' - u _{x}'}\)
i po y tak samo, tylko pochodne z y, dobrze?

2. już niestety nie wiem, wiem co to jest punkt stacjonarny, problem pojawił się tylko w tym przypadku;]
czy muszę przyrównać do zera te policzone wyżej pochodne? jeżeli tak, to jak to dalej rozwiązać?

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: octahedron » 21 cze 2011, o 23:34

1. Dobrze
2. Może chodzi o zmienne \(\displaystyle{ u,v}\)?

Dzedor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 13 paź 2009, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 13 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: Dzedor » 21 cze 2011, o 23:55

Moze;D
jeżeli bym u i v traktował jako zmienne, to nie będzie punktu stacjonarnego, bo układ równań jaki otrzymam będzie sprzeczny

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: cosinus90 » 22 cze 2011, o 00:43

2. Sprawdzić czy funkcja posiada punkt stacjonarny.
Więc masz odpowiedź.

Dzedor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 13 paź 2009, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 13 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: Dzedor » 22 cze 2011, o 09:45

No tak
ale czy to jest poprawne?
jeżeli traktuje funkcje jako zwykłe zmienne?

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: octahedron » 22 cze 2011, o 23:41

Ale nie znamy postaci \(\displaystyle{ u(x,y)}\) i \(\displaystyle{ v(x,y)}\), więc nie da się policzyć inaczej

Dzedor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 13 paź 2009, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 13 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: Dzedor » 23 cze 2011, o 00:04

No tak:D
dzięki za pomoc

Loreno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 23 lis 2013, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Punkt stacjonarny

Post autor: Loreno » 28 cze 2014, o 20:07

Czy w pierwszym poście pochodna po x na pewno jest dobrze policzona? Nie powinno przypadkiem być
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 2 u _{x}' v + u ^{2} v _{x}' - u _{x}'}\)?
(usunąłem "u" z pierwszego iloczynu w wyniku)

Nie rozumiem też do końca o co chodzi z klasą funkcji. Czy klasa C1 oznacza po prostu, że wystarczy raz zróżniczkować funkcję, aby zniknęły zmienne?Oznaczałoby to, że klasa funkcji ma tą samą wartość co jej stopień. Czy rzeczywiście tak jest?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18800
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3180 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: a4karo » 28 cze 2014, o 21:57

Pochodna w pierwszym poście jest policzona prawidłowo.

\(\displaystyle{ C^1}\) oznacza, że pochodna funkcji jest funkcją ciągłą.

Loreno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 23 lis 2013, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Punkt stacjonarny

Post autor: Loreno » 28 cze 2014, o 22:14

Dlaczego w pochodnej jest u?
Dlaczego jest tak:
\(\displaystyle{ 2u u _{x}' v}\)
a nie tak:
\(\displaystyle{ 2 u _{x}' v}\)?

Może chodzi o to, że \(\displaystyle{ u ^{2}}\) traktujemy jak funkcję złożoną? Wtedy by się zgadzało, bo liczylibyśmy
to jako iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej (czyli tak jakby zmienna podniesiona do kwadratu i wychodzi nam z tego 2u - u traktujemy wtedy jako zmienną) razy pochodna funkcji wewnętrznej (czyli \(\displaystyle{ u _{x}'}\)). Czy dobrze myślę?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18800
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3180 razy

Punkt stacjonarny

Post autor: a4karo » 28 cze 2014, o 23:01

A czy \(\displaystyle{ u^2}\) nie jest funkcja złożoną??? Oczywiście, że jest i dlatego pochodną jest \(\displaystyle{ 2uu_x'}\)

Loreno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 23 lis 2013, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Punkt stacjonarny

Post autor: Loreno » 29 cze 2014, o 07:36

Ok, teraz już rozumiem. Dziękuję za pomoc.

ODPOWIEDZ