\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - ytgx = 2cos^{2}x}\)-- 21 cze 2011, o 16:10 --może mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tego równania
z góry dzieki
Równanie różnoczkowe
-
karollmatek
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 cze 2011, o 13:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ślask
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Równanie różnoczkowe
Nie rozdziel zmienne tylko rozwiąż liniowe
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-y\tan{x}=2\cos^{2}{x}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-y\tan{x}=0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=y\tan{x}\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\mbox{d}x\\
\ln{|y|}=-\ln{|cos{x}|}+C\\
y=\frac{C}{\cos{x}}\\
y\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{\cos{x}}\\
\frac{C^{\prime}\left(x\right)}{\cos{x}}+\frac{C\left(x\right)\sin{x}}{\cos^{2}{x}}-\frac{C\left(x\right)\sin{x}}{\cos^{2}{x}}=2\cos^{2}{x}\\
\frac{C^{\prime}\left(x\right)}{\cos{x}}=2\cos^{2}{x}\\
C^{\prime}\left(x\right)=2\cos^{3}{x}\\
C\left(x\right)=2\sin{x}-\frac{2}{3}\sin^{3}{x}+C\\
y=2\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{2}{3}\frac{\sin^{3}{x}}{\cos{x}}+\frac{C}{\cos{x}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-y\tan{x}=2\cos^{2}{x}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-y\tan{x}=0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=y\tan{x}\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\mbox{d}x\\
\ln{|y|}=-\ln{|cos{x}|}+C\\
y=\frac{C}{\cos{x}}\\
y\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{\cos{x}}\\
\frac{C^{\prime}\left(x\right)}{\cos{x}}+\frac{C\left(x\right)\sin{x}}{\cos^{2}{x}}-\frac{C\left(x\right)\sin{x}}{\cos^{2}{x}}=2\cos^{2}{x}\\
\frac{C^{\prime}\left(x\right)}{\cos{x}}=2\cos^{2}{x}\\
C^{\prime}\left(x\right)=2\cos^{3}{x}\\
C\left(x\right)=2\sin{x}-\frac{2}{3}\sin^{3}{x}+C\\
y=2\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{2}{3}\frac{\sin^{3}{x}}{\cos{x}}+\frac{C}{\cos{x}}}\)