Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: miki999 » 21 cze 2011, o 23:14

Dziwne, że nikt się nie czepił:
Ciąg zmierza do pewnej liczby g (którą nazywamy granicą tego ciągu), gdy od pewnego miejsca odległość wyrazów tego ciągu od liczby g jest mniejsza od dowolnie małej liczby, większej od zera.
i w sumie w kolejnym poście też kolejność nie do końca dobra.
Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.
A nie jest?
Zbiorem powinny być liczby [3,2] . Jednak tak nie jest i wyrazy wychodzą dalej (50 wyraz = 2,02).
Jak to zinterpretować ?
\(\displaystyle{ [3,2]}\)- masz na myśli przedział?. Zresztą ciężko domyślić się o co Ci chodzi.

Ciąg \(\displaystyle{ a_n= \frac{2n+1}{n}}\) jest ograniczony np. przez liczby \(\displaystyle{ 0}\) (od dołu) i \(\displaystyle{ 500}\) (od góry). Liczby wziąłem przykładowe, nie zawsze trzeba się powoływać na wartości graniczne, ważne że takowe liczby istnieją.

Czy kolejne wartości ciągu są nieco poniżej danej wartości czy też powyżej nie ma znaczenia, ponieważ i tak w definicji masz wartość bezwzględną. Fajnie obrazuje to pokazany przykład \(\displaystyle{ a_n= \frac{(-1)^n}{n}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{\sin n}{n}}\).

Nie wiem, czy rozjaśniłem którąkolwiek wątpliwość.


Pozdrawiam.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26899
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4497 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Jan Kraszewski » 22 cze 2011, o 00:01

vitar pisze:Opierając się o http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ograniczona
Ciąg ograniczony powinien być zbiorem.

Co masz na myśli?

JK

vitar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wnętrza ziemi
Podziękował: 16 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: vitar » 22 cze 2011, o 00:32

Ok to już nie ważne, teraz mam ważniejsze pytanie dotyczące liczenia.
Przeglądałem zadania i wykryłem schemat liczenia lim"ów - granic ciągów.

Czy (zawsze) chodzi o to aby wyciągać największą potęgę przed nawias i dzielić wszystkie składniki (z nawiasu) przez tą najwyższą potęgę ?

Kiedy pojawia się stała Eulera ?

wszamol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 64 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: wszamol » 22 cze 2011, o 00:52

miki999 nie podawałem ścisłej definicji, była prośba by wyjaśnić łopatologicznie.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: miki999 » 22 cze 2011, o 10:14

miki999 nie podawałem ścisłej definicji, była prośba by wyjaśnić łopatologicznie.
Mi nie chodziło o to, że nie pisałeś tego za pomocą znaczków, tylko że kwantyfikatory zamieniłeś w swojej wypowiedzi.
Przykładowo \(\displaystyle{ 0}\) nie spełnia napisanej przez Ciebie definicji granicy dla ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).
Czy (zawsze) chodzi o to aby wyciągać największą potęgę przed nawias i dzielić wszystkie składniki (z nawiasu) przez tą najwyższą potęgę ?
Nie zawsze, ale w prostych przykładach najczęściej się do tego sprowadza.
Kiedy pojawia się stała Eulera ?
Na ogół wtedy, gdy pojawia się symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^\infty}\). Z czasem będziesz intuicyjnie rozpoznawał takie przykłady.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26899
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4497 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Jan Kraszewski » 22 cze 2011, o 11:19

miki999 pisze:
Czy (zawsze) chodzi o to aby wyciągać największą potęgę przed nawias i dzielić wszystkie składniki (z nawiasu) przez tą najwyższą potęgę ?
Nie zawsze, ale w prostych przykładach najczęściej się do tego sprowadza.
Dokładniej: przy wyrażeniach wymiernych (i podobnych do nich).

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9325
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Dasio11 » 22 cze 2011, o 14:10

vitar pisze:Kiedy pojawia się stała Eulera ?
BTW, stałą Eulera nazywa się granicę poniższego ciągu:

\(\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) - \ln n.}\)

Wam zaś prawdopodobnie chodzi o liczbę Eulera:

\(\displaystyle{ e= \lim_{n\to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n}\)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Rogal » 22 cze 2011, o 15:04

Nawias zamykający trochę nie w tym miejscu. :P

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9325
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Dasio11 » 22 cze 2011, o 16:08

Dlaczego? W tym momencie wiadomo, że \(\displaystyle{ \ln}\) jest nie pod sumą. To, że jest pod granicą, widać po zmiennej \(\displaystyle{ n.}\) :-)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26899
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4497 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Jan Kraszewski » 22 cze 2011, o 16:47

Rogal ma rację, ten zapis, niezależnie od tego, że można się domyślić, o co chodzi, jest niepoprawny. To, że "widać" nie świadczy niestety o formalnej poprawności.

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9325
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Dasio11 » 22 cze 2011, o 23:03

Naprawdę? Takie powielanie nawiasów wg mnie zawsze zmniejszało czytelność...
No ale nie będę się kłócił z Janem Kraszewskim. 0.0

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26899
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4497 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Jan Kraszewski » 22 cze 2011, o 23:21

Czy ja wiem? Dla mnie brak nawiasów w tym przypadku zmniejszył czytelność. A tę granicę można było zapisać czytelniej używając tylko jednej pary nawiasów.

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9325
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Dasio11 » 22 cze 2011, o 23:26

Wtedy mogłoby wyglądać, że \(\displaystyle{ \ln}\) jest pod sumą.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26899
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4497 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Jan Kraszewski » 22 cze 2011, o 23:35

Dasio11 pisze:Wtedy mogłoby wyglądać, że \(\displaystyle{ \ln}\) jest pod sumą.
Czyżby?

\(\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left(- \ln n+ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right)}\).

JK

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Granica ciągu - problem ze zrozumieniem istoty, definicji

Post autor: Rogal » 23 cze 2011, o 12:20

Ponadto, moim zdaniem, aby ten logarytm miał być pod sumą, to wtedy należałoby dodatkowo to zaznaczyć nawiasami. Taki zapis nie implikuje bynajmniej tego, że logarytm jest pod sumą:
\(\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right)}\)

ODPOWIEDZ