Równanie 4 stopnia

[bartolini9]

Witajcie.

Pewne równanie ma postać
\(\displaystyle{ L(s)= s^{4} +5s^{3}+9s^{2}+6s+3}\)
W jaki sposób najszybciej i najprościej to rozwiązać "na kartce"? Czy można w jakiś sposób zastosować tu podstawienie np. \(\displaystyle{ t^{2}=s}\)

Pozdrawiam,
Bartek

[Zimnx]

Jakie rownanie?
Mysle ze chodzi Ci o miejsca zerowe. Ta funkcja ich nie posiada.

[Vax]

Rzeczywistych nie posiada, jeżeli chcesz wyznaczyć pierwiastki zespolone możesz dany wielomian doprowadzić do postaci iloczynowej korzystając z metody Ferrariego, jednak w tym wypadku trochę obliczeń będzie, po sprowadzeniu danego wielomianu do równania sześciennego będziesz musiał skorzystać ze wzorów Cardano.

Pozdrawiam.

[Althorion]

Tak czy owak, żadna z tych metod moim zdaniem nie nadaje się do zastosowania "na kartce". Ja bym pokusił się o szukanie przybliżonych rozwiązań metodą bisekcji.

[Mariusz M]

Althorion, metoda bisekcji jeśli nie istnieje przedział w którym zachodzi zmiana znaku raczej nie zadziała

Myślę że tutaj najlepszym pomysłem jest rozkład na czynniki kwadratowe
np sprowadzając równanie do postaci różnicy kwadratów

[fon_nojman]

To równanie ma cztery rozwiązania parami sprzężone. Czyli jest postaci

\(\displaystyle{ (s^2+as+b)(s^2+cs+d), a,b,c,d\in \mathbb{R}}\)

przyrównaj odpowiednie współczynniki.

[Mariusz M]

E tam ja uważam że lepiej do różnicy kwadratów sprowadzić
bo tak jak proponujesz to bez wyrugowania elementu \(\displaystyle{ 5s^3}\)
otrzymamy układ który dość nieciekawie wygląda a
jeżeli tą funkcję otrzymał w wyniku transformacji Laplace (na to wygląda)
to wystarczy rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
a wtedy najlepszym pomysłem jest sprowadzenie do postaci różnicy kwadratów

\(\displaystyle{ s^4+5s^3+9s^2+6s+3=0\\
s^4+5s^3=-9s^2-6s-3\\
s^4+5s^3+ \frac{25}{4}s^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s \right)^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y- \frac{11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2}{4} -3\\
\left( \frac{5}{2}y-6 \right)^2=\left( y^2-12\right)\left( y- \frac{11}{4} \right)\\
\frac{25}{4}y^2-30y+36=y^3-11y^2-12y+33\\
y^3-9y^2+18y-3=0\\
y=w+3\\
\left( w+3\right)^3-9\left( w+3\right)^2+18\left( w+3\right)-3=0\\
w^3+9w^2+27w+27-9w^2-54w-81+18w+54-3=0\\
w^3-9w-3=0\\
w=u+v\\
\left( u+v\right)^3-9\left( u+v\right)-3\\
u^3+v^3+3u^2+3uv^2-9\left( u+v\right)-3\\
\begin{cases} u^3+v^3-3=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-3\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=3 \\ uv=3 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=3 \\ u^3v^3=27 \end{cases} \\
t^2-3t+27=0\\
t^2-3t+ \frac{9}{4}+ \frac{99}{4}\\
\left( t- \frac{3- \sqrt{99}i }{2} \right)\left( t- \frac{3+ \sqrt{99}i }{2} \right)=0\\
u= \sqrt[3]{ \frac{3-3 \sqrt{11}i }{2} }\\
v= \sqrt[3]{ \frac{3+3 \sqrt{11}i }{2} }\\
\left| u\right|=\left| v\right|= \sqrt{27}\\
arg\left( u\right)=-arg\left( v\right)=\arctan{\left( \sqrt{11} \right)}\\
w=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) } \\
y=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) }+3}\)

\(\displaystyle{ \left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{4y-11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2-12}{4} \\
\left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{ \sqrt{4y-11} }{2}s+ \frac{ \sqrt{y^2-12} }{2} \right)^2\\
\left( s^2+ \left( \frac{5- \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y-\sqrt{y^2-12}}{2} \right)\left( s^2+ \left( \frac{5+ \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y+\sqrt{y^2-12}}{2} \right)=0}\)