Równanie 4 stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
bartolini9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 cze 2011, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Równanie 4 stopnia

Post autor: bartolini9 » 21 cze 2011, o 15:02

Witajcie.

Pewne równanie ma postać
\(\displaystyle{ L(s)= s^{4} +5s^{3}+9s^{2}+6s+3}\)
W jaki sposób najszybciej i najprościej to rozwiązać "na kartce"? Czy można w jakiś sposób zastosować tu podstawienie np. \(\displaystyle{ t^{2}=s}\)

Pozdrawiam,
Bartek

Awatar użytkownika
Zimnx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 9 kwie 2009, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 24 razy

Równanie 4 stopnia

Post autor: Zimnx » 21 cze 2011, o 16:40

Jakie rownanie?
Mysle ze chodzi Ci o miejsca zerowe. Ta funkcja ich nie posiada.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Równanie 4 stopnia

Post autor: Vax » 21 cze 2011, o 16:58

Rzeczywistych nie posiada, jeżeli chcesz wyznaczyć pierwiastki zespolone możesz dany wielomian doprowadzić do postaci iloczynowej korzystając z metody Ferrariego, jednak w tym wypadku trochę obliczeń będzie, po sprowadzeniu danego wielomianu do równania sześciennego będziesz musiał skorzystać ze wzorów Cardano.

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Równanie 4 stopnia

Post autor: Althorion » 21 cze 2011, o 17:27

Tak czy owak, żadna z tych metod moim zdaniem nie nadaje się do zastosowania "na kartce". Ja bym pokusił się o szukanie przybliżonych rozwiązań metodą bisekcji.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6743
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1221 razy

Równanie 4 stopnia

Post autor: mariuszm » 4 paź 2011, o 07:13

Althorion, metoda bisekcji jeśli nie istnieje przedział w którym zachodzi zmiana znaku raczej nie zadziała

Myślę że tutaj najlepszym pomysłem jest rozkład na czynniki kwadratowe
np sprowadzając równanie do postaci różnicy kwadratów

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Równanie 4 stopnia

Post autor: fon_nojman » 4 paź 2011, o 09:56

To równanie ma cztery rozwiązania parami sprzężone. Czyli jest postaci

\(\displaystyle{ (s^2+as+b)(s^2+cs+d), a,b,c,d\in \mathbb{R}}\)

przyrównaj odpowiednie współczynniki.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6743
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1221 razy

Równanie 4 stopnia

Post autor: mariuszm » 4 paź 2011, o 18:16

E tam ja uważam że lepiej do różnicy kwadratów sprowadzić
bo tak jak proponujesz to bez wyrugowania elementu \(\displaystyle{ 5s^3}\)
otrzymamy układ który dość nieciekawie wygląda a
jeżeli tą funkcję otrzymał w wyniku transformacji Laplace (na to wygląda)
to wystarczy rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
a wtedy najlepszym pomysłem jest sprowadzenie do postaci różnicy kwadratów

\(\displaystyle{ s^4+5s^3+9s^2+6s+3=0\\ s^4+5s^3=-9s^2-6s-3\\ s^4+5s^3+ \frac{25}{4}s^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\ \left( s^2+ \frac{5}{2}s \right)^2=- \frac{11}{4}s^2-6s-3\\ \left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y- \frac{11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2}{4} -3\\ \left( \frac{5}{2}y-6 \right)^2=\left( y^2-12\right)\left( y- \frac{11}{4} \right)\\ \frac{25}{4}y^2-30y+36=y^3-11y^2-12y+33\\ y^3-9y^2+18y-3=0\\ y=w+3\\ \left( w+3\right)^3-9\left( w+3\right)^2+18\left( w+3\right)-3=0\\ w^3+9w^2+27w+27-9w^2-54w-81+18w+54-3=0\\ w^3-9w-3=0\\ w=u+v\\ \left( u+v\right)^3-9\left( u+v\right)-3\\ u^3+v^3+3u^2+3uv^2-9\left( u+v\right)-3\\ \begin{cases} u^3+v^3-3=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv-3\right)=0 \end{cases} \\ \begin{cases} u^3+v^3=3 \\ uv=3 \end{cases} \\ \begin{cases} u^3+v^3=3 \\ u^3v^3=27 \end{cases} \\ t^2-3t+27=0\\ t^2-3t+ \frac{9}{4}+ \frac{99}{4}\\ \left( t- \frac{3- \sqrt{99}i }{2} \right)\left( t- \frac{3+ \sqrt{99}i }{2} \right)=0\\ u= \sqrt[3]{ \frac{3-3 \sqrt{11}i }{2} }\\ v= \sqrt[3]{ \frac{3+3 \sqrt{11}i }{2} }\\ \left| u\right|=\left| v\right|= \sqrt{27}\\ arg\left( u\right)=-arg\left( v\right)=\arctan{\left( \sqrt{11} \right)}\\ w=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) } \\ y=2 \sqrt{3}\cos{\left( \frac{\arctan{\left( \sqrt{11} \right) }}{3} \right) }+3}\)

\(\displaystyle{ \left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{4y-11}{4}\right) s^2+\left( \frac{5}{2}y -6\right) s+ \frac{y^2-12}{4} \\ \left( s^2+ \frac{5}{2}s+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( \frac{ \sqrt{4y-11} }{2}s+ \frac{ \sqrt{y^2-12} }{2} \right)^2\\ \left( s^2+ \left( \frac{5- \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y-\sqrt{y^2-12}}{2} \right)\left( s^2+ \left( \frac{5+ \sqrt{4y-11}}{2}\right) s+ \frac{y+\sqrt{y^2-12}}{2} \right)=0}\)

ODPOWIEDZ