Rozwiązania zespolone równania z modułem

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
sopello
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 kwie 2010, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Rozwiązania zespolone równania z modułem

Post autor: sopello » 21 cze 2011, o 12:06

Ile rozwiązań zespolonych nierzeczywistych ma równanie \(\displaystyle{ z^5 + |z^2| = 0}\) ?

Wiem, że będą dwa pierwiastki rzeczywiste i cztery zespolone, jednak nie mam pojęcia jak i z czego to wywnioskować..

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Rozwiązania zespolone równania z modułem

Post autor: octahedron » 21 cze 2011, o 19:08

\(\displaystyle{ z^5 + |z^2| = 0\\
z=re^{i\varphi}\\
r^5e^{i5\varphi}+r^2=0\\
r^2\left( r^3e^{i5\varphi}+1\right) =0\\
r=0\ \vee\ r^3e^{i5\varphi}=-1=e^{i\pi}\\
r=1\ \wedge\ 5\varphi=\pi+2k\pi=(2k+1)\pi \Rightarrow \varphi=\frac{(2k+1)\pi}{5}\\
z_1=0\\
z_2=e^{i\frac{\pi}{5}}\\
z_3=e^{i\frac{3\pi}{5}}\\
z_4=e^{i\pi}=-1\\
z_5=e^{i\frac{7\pi}{5}}\\
z_6=e^{i\frac{9\pi}{5}}\\}\)

ODPOWIEDZ