Matematyka.pl

Zauważmy, że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{b^3}-\sqrt{bc^2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{b^3}-\sqrt{c^3}}\) są jednakowego znaku, zatem \(\displaystyle{ b^3-b^2c-\sqrt{b^3c^3}+c^2\sqrt{bc}=(\sqrt{b^3}-\sqrt{bc^2})(\sqrt{b^3}-\sqrt{c^3}) \ge 0 \Rightarrow b^3 \ge b^2c+\sqrt{b^3c^3}-c^2\sqrt{bc} \Rightarrow b^3 \ge \sqrt{bc}(b\sqrt{bc}+bc-c^2) \Rightarrow b^3>a(ab+bc-c^2) \Rightarrow b^3+ac^2>ab(a+c)}\) c.K.u.z.s.

W trakcie pisania rozwiązania zauważyłem, że w treści jest założenie o tym, że NWD wszystkich jest równe 1, ale już nie będę zmieniał.
Udowodnimy, że ciągi są dobre wtedy i tylko wtedy, gdy suma ich wyrazów podzielona przez NWD wszystkich jego wyrazów jest potęgą dwójki.
Na początek zajmijmy się nieparzystymi czynnikami w NWD wyrazów naszego ciągu. Łatwo zauważyć, że jeżeli jeżeli jakieś 2l+1 dzieliło każdy wyraz naszego ciągu, to po każdej operacji nadal tak jest i nie może się tak stać, że po danej operacji wszystkie wyrazy ciągu będą podzielne przez 2l+1, jeżeli wcześniej nie były. Zatem nieparzysty czynnik NWD wszystkich wyrazów naszego ciągu się nie zmienia, zatem możemy wszystko przez niego podzielić i możemy założyć, że w każdym momencie wykonywania operacji jest on równy 1.
Zauważmy, że w każdym momencie suma liczb na tablicy jest taka sama.
Rozpatrzmy na razie, co się dzieje, gdy n=2. Końcowa sytuacja, to musi być jakaś para liczb (S, 0). Do niej można dojść tylko z pary \(\displaystyle{ (\frac{S}{2},\frac{S}{2})}\), a do tej można dojść tylko z pary \(\displaystyle{ (\frac{3S}{4},\frac{S}{4})}\), a do tej tylko z par \(\displaystyle{ (\frac{5S}{8},\frac{3S}{8})}\) i \(\displaystyle{ (\frac{7S}{8},\frac{S}{8})}\). Za pomocą bardzo prostej indukcji wykazujemy, że w takim razie jeżeli n=2, to jeżeli mamy wyzerować jedną liczbę, to da się to zrobić wtedy i tylko wtedy, gdy suma liczb na początku jest potęgą dwójki.
Zauważmy, że jedną operacją nie możemy wyzerować 2 liczb, zatem jeżeli mamy dojść do sytuacji z n-1 zerami, to musieliśmy dojść do sytuacji z n-2 zerami. Operacje na parach, w których jest 0 nic nie zmieniają. Zatem jeżeli sprowadziliśmy nasz problem do sytuacji z n-2 zerami, to wystarczy nam wyzerować jedną z dwóch niezerowych liczb, czyli ich suma musi być potęgą dwójki, a skoro suma liczb na tablicy się nie zmienia, to na początku też musiała być potęgą dwójki.
Teraz udowodnimy, że z każdego układu, w którym na początku suma była potęgą dwójki, da się dojść do momentu, w którym będziemy mieć n-1 zer.
Załóżmy zatem, że mamy dany ciąg, w którym suma liczb jest potęgą dwójki i jest większa od 1, bo jeżeli jest równa 1, to sprawa jest oczywista. Skoro suma liczb jest potęgą dwójki większą od 1, to znaczy, że jest parzysta, to znaczy, że w ciągu występuje parzysta liczba liczb nieparzystych. Zastosujmy naszą operację na pierwszej parze, na drugiej itd. Otrzymamy ciąg, w którym wszystkie liczby są parzyste. Ten ciąg da się sprowadzić do szukanej formy wtedy i tylko wtedy, gdy jak podzielimy wszystko przez 2, to ten ciąg też da się wyzerować. A w takim suma liczb będzie 2 razy mniejsza i też będzie potęgą dwójki. Możemy to rozumowanie powtarzać aż do momentu, gdy suma liczb w naszym ciągu będzie równa 1, ale wtedy jesteśmy w domu.
c.K.u.z.s.

Niech F będzie rzutem B na DM, G rzutem A na MC, a Y przecięciem AG i CB.
Udowodnimy najpierw, że MG=MF. Z tego, że M leży na tamtej prostej mamy, że \(\displaystyle{ AM^2-MB^2=AE^2-BE^2=AC^2-BD^2}\). Z tw. cosinusów mamy \(\displaystyle{ MD^2-2cos \sphericalangle MDB \cdot MD \cdot DM=MB^2-BD^2=AM^2-AC^2=MC^2-2cos \sphericalangle ACM \cdot AC\cdot CM}\), z czego dostajemy \(\displaystyle{ cos \sphericalangle ACM \cdot AC=cos \sphericalangle MDB\cdot BD}\), czyli \(\displaystyle{ GM=MF}\). Skoro \(\displaystyle{ \sphericalangle MGY=90^{o}= \sphericalangle MFY}\) oraz \(\displaystyle{ MG=MF}\), to znaczy, że YM jest dwusieczną kąta GYF. Z tego wynika fakt, że jest także symetralną DC, czyli przechodzi przez środek danego okręgu, oznaczmy go przez O. Ale O leży na symetralnej AB i na dwusiecznej kąta AYB, co implikuje, że na AYBO da sie opisać okrąg (tu wykrozystujemy, że AB i CD nie są równoległe). Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB=2\alpha}\), to proste obliczenia dają nam \(\displaystyle{ \sphericalangle AOB=360^{o}-4\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle AYB=90^{o}-\alpha}\), co w połączeniu z tym, że na AYBO da się opisać okrąg daje tezę.
c.K.u.z.s.