Udowodnić nieparzystość funkcji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
czeslaw
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Udowodnić nieparzystość funkcji

Post autor: czeslaw » 20 cze 2011, o 19:09

Dana jest ciągła funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\). Dla każdej ciągłej funkcji parzystej \(\displaystyle{ g(x)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx = 0}\). Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nieparzysta.

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Udowodnić nieparzystość funkcji

Post autor: Zordon » 20 cze 2011, o 19:15

Innymy słowy dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ g}\):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} g(x)(f(x)+f(-x))dx=0}\)
Czyli pokażemy ze jesli dla kazdej ciaglej g \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} g(x)h(x)dx=0}\) i h jest ciągła to \(\displaystyle{ h=0}\).
Jeśli nie jest zero to jest powiedzmy dodatnia na pewnym przedziale \(\displaystyle{ I}\). Biorę funkcję \(\displaystyle{ g}\) która jest dodatnie na pewnym podprzedziale \(\displaystyle{ J\subseteq I}\), ale \(\displaystyle{ g=0}\) poza \(\displaystyle{ I}\). No i ok.

ODPOWIEDZ