[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: justynian » 20 cze 2011, o 18:18

\(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n}a_i )(\sum_{i=1}^{n}b_i) \ge \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)\sum_{i=1}^{n} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i}}\)

Awatar użytkownika
jgarnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: jgarnek » 20 cze 2011, o 21:23

W kółku Pawłowskiego udowadniało się to bodajże minimami funkcji, ale mnie zastanawiało zawsze, jak zrobić to klasycznie :P W końcu kiedyś tam znalazłem:

Z Cauchy'ego-Schwarza:
\(\displaystyle{ (\sum (a_i -b_i))^2 \le (\sum \frac{(a_i-b_i)^2}{a_i+b_i}) (\sum (a_i+b_i)) \quad (*)}\)

Ponadto:
\(\displaystyle{ (\sum a_i)(\sum b_i) = \frac{1}{4}((\sum a_i +\sum b_i)^2 - (\sum a_i -\sum b_i)^2)}\)

a stosując (*):
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}((\sum a_i +\sum b_i)^2 - (\sum a_i -\sum b_i)^2) \ge \frac{1}{4}((\sum a_i +\sum b_i)^2 -}\)
\(\displaystyle{ (\sum \frac{(a_i-b_i)^2}{a_i+b_i}) (\sum (a_i+b_i)))= ... =\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)\sum_{i=1}^{n} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i}}\)

(trzy kropki to kilka prostych przekształceń)

P.S. Oczywiście trzeba założyć \(\displaystyle{ a_i, b_i >0}\)

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: patry93 » 20 cze 2011, o 22:11

Tudzież indukcja.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) wymnażamy bez litości.
Niech \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i = A, \ \sum_{i=1}^{n}b_i = B}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i} + \frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n+1} + b_{n+1}} \le \frac{AB}{A+B} + \frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n+1} + b_{n+1}} \le \frac{(A+a_{n+1})(B+b_{n+1})}{A+a_{n+1}+B+b_{n+1}}}\)
A to jest równoważne tezie po pomnożeniu przez mianownik.

Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: kp1311 » 21 cze 2011, o 13:17

Uzupełnimy ten dowód.
\(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a_1+a_2)(b_1+b_2)}{a_1+a_2+b_1+b_2} \ge \frac{a_{1}b_{1}}{a_1+b_1} + \frac{a_2b_2}{a_2+b_2}}\)
\(\displaystyle{ (a_1+a_2)(b_1+b_2) \ge (1+ \frac{a_2+b_2}{a_1+b_1} )a_{1}b_1 + (1+ \frac{a_1+b_1}{a_2+b_2} )a_{2}b_{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1} \ge (\frac{a_2+b_2}{a_1+b_1}b_1)a_{1} + (\frac{a_1+b_1}{a_2+b_2}a_{2})b_{2}}\)

Po prostych obliczeniach: \(\displaystyle{ \frac{a_2+b_2}{a_1+b_1}b_1 \ge b_2 \Leftrightarrow a_{2}b_{1} \ge a_{1}b_{2}}\)
oraz: \(\displaystyle{ a_{1} \ge \frac{a_1+b_1}{a_2+b_2}a_{2} \Leftrightarrow a_{2}b_{1} \le a_{1}b_{2}}\)

Zatem na mocy nierówności o ciągach jednomonotonicznych:
\(\displaystyle{ (\frac{a_2+b_2}{a_1+b_1}b_1)a_{1} + (\frac{a_1+b_1}{a_2+b_2}a_{2})b_{2} \le (\frac{a_2+b_2}{a_1+b_1}b_1) \cdot (\frac{a_1+b_1}{a_2+b_2}a_{2}) + a_{1}b_{2} = a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}}\)
I nasz dowód jest kompletny.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: Marcinek665 » 21 cze 2011, o 14:59

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) to było zadanie 1 z okręgowych 44 OM

Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: kp1311 » 22 cze 2011, o 04:52

hmm, nawet we wzorcówce mnożą na pałę

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: andkom » 22 cze 2011, o 12:44

Nierówność ta, którą można zapisać tak
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^na_i\sum_{i=1}^nb_i}{\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)}\ge\sum_{i=1}^n\frac{a_ib_i}{a_i+b_i}}\)
ma pewną interpretację fizyczną:
Rozważmy następujący układ oporników:

W jednym szeregu łączymy kolejno oporniki o oporach \(\displaystyle{ a_1,a_2,\dots,a_n}\). W drugim szeregu łączymy kolejno oporniki o oporach \(\displaystyle{ b_1,b_2,\dots,b_n}\). Oba szeregi łączymy równolegle. Opór zastępczy takiego układu oporników to lewa strona naszej nierówności.

Teraz połączmy w naszym układzie drucikami odpowiednio punkt między opornikami o oporze \(\displaystyle{ a_i}\) i \(\displaystyle{ a_{i+1}}\) z punktem między opornikami o oporze \(\displaystyle{ b_i}\) i \(\displaystyle{ b_{i+1}}\) (dla \(\displaystyle{ i=1,2,\dots,n-1}\)). Opór zastępczy oczywiście mógł się co najwyżej zmniejszyć, a po zmianie jest on równy prawej stronie naszej nierówności.

justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: justynian » 22 cze 2011, o 13:51

\(\displaystyle{ \frac{AB}{A+B} + \frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n+1} + b_{n+1}} \le \frac{(A+a_{n+1})(B+b_{n+1})}{A+a_{n+1}+B+b_{n+1}}}\)
czy to szacowanie uzasadnione jest jakąś oczywistą nierównością której nie widzę czy trzeba wymnażać ?

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: patry93 » 22 cze 2011, o 14:36

Uzasadnione prawdziwością dla \(\displaystyle{ n=2}\) ;) (dwa razy użyłem zał. ind.: raz dla 'ena' i raz dla dwójki )

justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: justynian » 22 cze 2011, o 15:39

[quote="patry93"]Uzasadnione prawdziwością dla \(\displaystyle{ n=2}\) ;) (dwa razy użyłem zał. ind.: raz dla 'ena' i raz dla dwójki )[/quote]

:D

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

[Nierówności] Skąd ta nierówność?

Post autor: andkom » 22 cze 2011, o 20:05

Nierówność można uogólnić następująco:
Dla liczb \(\displaystyle{ a_{i,j}>0}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,\dots,n}\) oraz \(\displaystyle{ j=1,\dots,m}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac1{\sum_{j=1}^m\frac1{\sum_{i=1}^na_{i,j}}}\geq
\sum_{i=1}^n\frac1{\sum_{j=1}^m\frac1{a_{i,j}}}}\)

Dla m=2, kładąc \(\displaystyle{ a_{i,1}=a_i}\), \(\displaystyle{ a_{i,2}=b_i}\), dostajemy wyjściową nierówność. Interpretacja fizyczna nadal działa (trzeba rozważyć m szeregów oporników).
Uogólnioną nierówność można natomiast zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ H_{j=1}^mA_{i=1}^na_{i,j}\geq A_{i=1}^nH_{j=1}^ma_{i,j}}\),
gdzie H to branie średniej harmonicznej, a A to branie średniej arytmetycznej (zatem jeśli dla macierzy o wyrazach dodatnich najpierw obliczymy średnią arytmetyczną dla każdej kolumny, a potem z uzyskanych wyników obliczymy średnią harmoniczną, to dostaniemy nie mniej, niż gdybyśmy najpierw obliczyli średnią harmoniczną dla każdego wiersza, a potem z uzyskanych wyników obliczyli średnią arytmetyczną).
Tak samo zresztą będzie, gdy zamiast średniej harmonicznej weźmiemy średnią geometryczną.
Możecie pomyśleć, jak będzie dla innych par średnich, np. p-tej i q-tej (ja się nad tym nie zastanawiałem, ale powinno być podobnie, jak w wypisanych wyżej przypadkach ze średnią -1-szą i 1-szą oraz z 0-wą i 1-szą; fajnie wychodzi dla średnich - i + nieskończonych: \(\displaystyle{ \min_{j=1}^m\max_{i=1}^na_{i,j}\geq\max_{i=1}^n\min_{j=1}^ma_{i,j}}\), co jest prawdą).

ODPOWIEDZ