zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
coccinelle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 sty 2011, o 14:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: coccinelle » 20 cze 2011, o 17:04

Witam, mam dwa twierdzenia o zwartości i relatywnej zwartości. Wiem, że każdy zbiór zwarty jest relatywnie zwarty, ale nie na odwrót. Potrzebuję przykładów oraz kontrprzykładów do poniższych twierdzeń.

Twierdzenie 1. Zbiór relatywnie zwarty jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Wiem, że zwarty jest odcinek \(\displaystyle{ [0,1] \subset R}\) bo jest domknięty i ograniczony, odcinek \(\displaystyle{ (0,1) \subset R}\) nie jest zwarty. Czy z tego, że każdy zbiór zwarty jest relatywnie zwarty mogę wywnioskować, że \(\displaystyle{ [0,1] \subset R}\) jest relatywnie zwarty a \(\displaystyle{ (0,1) \subset R}\) nie jest relatywnie zwarty?

Twierdzenie 2. Jeżeli zbiór jest relatywnie zwarty to jest ograniczony.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia 2 jest prawdziwe tylko w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\). Jaki może być przykład zbioru zwartego i relatywnie zwartego w przestrzeni nieskończenie wymiarowej?

pipol

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: pipol » 20 cze 2011, o 19:51

Przykład zbioru relatywnie zwartego \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) z normą supremum
\(\displaystyle{ A=\{f\in C[0,1]:||f||<1 \wedge (\forall_{x,y\in [0,1]} |f(x) -f(y)| \le |x-y| )\}}\)

Przykład zbioru zwartego \(\displaystyle{ B}\) w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) z normą supremum
\(\displaystyle{ B=\{f\in C[0,1]:||f|| \le 1 \wedge (\forall_{x,y\in [0,1]} |f(x) -f(y)| \le |x-y| )\}}\)

coccinelle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 sty 2011, o 14:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: coccinelle » 20 cze 2011, o 20:12

ok, a dlaczego \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| \le |x-y|}\) ? chodzi o Warunek Lipschitza ze stałą równą \(\displaystyle{ 1}\)?
mam jeszcze jedno pytanie wiemy że w \(\displaystyle{ R^{n}}\) zbiór zwarty jest relatywnie zwarty, cz tak samo jest w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych?

pipol

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: pipol » 21 cze 2011, o 11:07

coccinelle pisze:mam jeszcze jedno pytanie wiemy że w \(\displaystyle{ R^{n}}\) zbiór zwarty jest relatywnie zwarty, cz tak samo jest w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych?
Tak.
coccinelle pisze:ok, a dlaczego \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| \le |x-y|}\) ? chodzi o Warunek Lipschitza ze stałą równą \(\displaystyle{ 1}\)?
chodzi o Twierdzenie Arzeli - Ascoliego i zawartą w nim charakteryzacje zwartych podzbiorów przestrzeni \(\displaystyle{ C[a,b]}\)

coccinelle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 sty 2011, o 14:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: coccinelle » 21 cze 2011, o 11:15

Chodzi o jednakową ciągłość funkcji na \(\displaystyle{ [a,b]}\), tak?

pipol

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: pipol » 21 cze 2011, o 11:48

coccinelle pisze:Chodzi o jednakową ciągłość funkcji na \(\displaystyle{ [a,b]}\), tak?
Tak.

coccinelle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 sty 2011, o 14:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: coccinelle » 21 cze 2011, o 14:17

Znalazłam inny przykład zbioru relatywnie zwartego w przestrzeni funkcji ciągłych \(\displaystyle{ C[a,b]}\). Nie rozumiem jednego przejścia, może mi ktoś pomóc...

\(\displaystyle{ A= \left\{ f \in C _{R}[0,1]:f \ rozniczkowalna \ w \ (0,1), f(0)=0, |f ^{'}(x)| \le 1 \right\}}\)

Potrzebujemy wykazać jednakową ciągłość czyli warunek \(\displaystyle{ \forall _{x \in [a,b]} |f(x)-f(y)| \le |x-y|}\)

w przykładzie było napisane \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| = |f ^{'}(\xi )||x-y|}\)

skąd wzięło się to \(\displaystyle{ |f ^{'}(\xi )|}\)

pipol

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: pipol » 21 cze 2011, o 14:20

z Twierdzenia Lagrange'a

coccinelle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 sty 2011, o 14:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: coccinelle » 21 cze 2011, o 14:42

Czyli \(\displaystyle{ \xi \in [a,b]}\), a skoro pochodna w punkcie \(\displaystyle{ x \in [a,b]}\) jest \(\displaystyle{ \le 1}\) to ostatecznie otrzymamy \(\displaystyle{ |x-y|}\) czyli jednakową ciągłość funkcji na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Dobrze myślę?

pipol

zbiór zwarty a zbiór relatywnie zwarty

Post autor: pipol » 21 cze 2011, o 14:43

Tak.

ODPOWIEDZ