Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
lewy313
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 16:08
Płeć: Mężczyzna

Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Post autor: lewy313 » 20 cze 2011, o 11:37

Zadanie: Czy zbior liczb zespolonych \(\displaystyle{ a+bi \wedge a,b \in R}\). Spelniajacych warunek \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = 1}\) z mnozeniem jest grupa?

Znam schemat rozwiazywania podobnych zadan kiedy jest zdefiniowane tak:

Sprawdz czy zbior liczb rzeczywistych z dzialaniem \(\displaystyle{ a * b = \frac{a+b}{2}}\) jest grupa.

Niestety przez ten warunek i uzycie liczb zespolonych kompletnie nie wiem jak zabrac sie za moje
zadanie

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4498 razy

Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Post autor: Jan Kraszewski » 20 cze 2011, o 11:48

Liczby zespolone bez zera, z mnożeniem, tworzą grupę. więc musisz tylko sprawdzić, czy Twój zbiór jest podgrupą, czyli czy jest zamknięty na mnożenie i branie elementu odwrotnego. A to jest proste, bo Twój zbiór to liczby o module \(\displaystyle{ 1}\) (czyli okrąg jednostkowy).

JK

lewy313
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 16:08
Płeć: Mężczyzna

Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Post autor: lewy313 » 20 cze 2011, o 12:01

Jan Kraszewski pisze:Liczby zespolone bez zera, z mnożeniem, tworzą grupę. więc musisz tylko sprawdzić, czy Twój zbiór jest podgrupą, czyli czy jest zamknięty na mnożenie i branie elementu odwrotnego. A to jest proste, bo Twój zbiór to liczby o module \(\displaystyle{ 1}\) (czyli okrąg jednostkowy).

JK
Sprawdzic mniejwiecej jak w poscie nr "8" napisanym przez pana w tym temacie http://www.matematyka.pl/202184.htm ?

Awatar użytkownika
Natasha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 97 razy
Pomógł: 167 razy

Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Post autor: Natasha » 20 cze 2011, o 12:42

Czy \(\displaystyle{ a * b = \frac{a+b}{2}}\) - grupa?

Nie, bo działanie to nie jest łączne:

Czy \(\displaystyle{ a*(b*c)=(a*b)*c}\)?

\(\displaystyle{ L=a*(\frac{b+c}{2})=\frac{a+ \frac{b+c}{2} }{2}=\frac{2a+b+c}{4}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{ \frac{a+b}{2}*c }{4}=\frac{a+b+2c}{4}}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow L \neq P}\)

lewy313
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 16:08
Płeć: Mężczyzna

Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Post autor: lewy313 » 20 cze 2011, o 12:53

Natasha pisze:Czy \(\displaystyle{ a * b = \frac{a+b}{2}}\) - grupa?

Nie, bo działanie to nie jest łączne:

Czy \(\displaystyle{ a*(b*c)=(a*b)*c}\)?

\(\displaystyle{ L=a*(\frac{b+c}{2})=\frac{a+ \frac{b+c}{2} }{2}=\frac{2a+b+c}{4}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{ \frac{a+b}{2}*c }{4}=\frac{a+b+2c}{4}}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow L \neq P}\)
Znam schemat rozwiazywania podobnych zadan kiedy jest zdefiniowane tak:
Sprawdz czy zbior liczb rzeczywistych z dzialaniem \(\displaystyle{ a * b = \frac{a+b}{2}}\) jest grupa.
dziekuje ale akurat to zadanie rozwiazalem

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4498 razy

Sprawdz czy jest grupa z mnozeniem

Post autor: Jan Kraszewski » 20 cze 2011, o 19:31

lewy313 pisze:Sprawdzic mniej wiecej jak w poscie nr "8" napisanym przez pana w tym temacie http://www.matematyka.pl/202184.htm ?
Dokładnie tak (zapomniałem jeszcze o elemencie neutralnym).

JK

ODPOWIEDZ