jak to obliczyć?

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

jak to obliczyć?

Post autor: dżi-unit » 20 cze 2011, o 09:13

Oblicz:

\(\displaystyle{ (1+i)^{10}}\)

pipol

jak to obliczyć?

Post autor: pipol » 20 cze 2011, o 09:25

\(\displaystyle{ =32i}\)

Cybran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 5 lut 2011, o 08:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 1 raz

jak to obliczyć?

Post autor: Cybran » 20 cze 2011, o 09:28

Hej!
Procedura zawsze jest podobna.

Najpierw liczysz sobie moduł z tej liczby, czyli będzie to:
\(\displaystyle{ \left| z\right | = \sqrt{1 ^{2}+1 ^{2} }= \sqrt{2}}\)

Potem patrzysz gdzie na osi liczbowej leży sobie ta liczba zespolona. Tu Ci tego nie narysuję bo się chyba nie da, ale to będzie pierwsza ćwiartka.
Teraz musisz policzyć argument główny, czyli kąt. W pierwszej ćwiartce to jest łatwe:

\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\)

Teraz pozostaje już tylko 2 rzeczy: zapisać liczbę zespoloną i podnieść do potęgi.

\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left( cos \frac{ \pi }{4}+isin \frac{ \pi }{4} \right)}\)

A podniesienie do potęgi to prosta sprawa - po prostu
1) modul podnosisz do potęgi
2) kąty mnożysz razy wykladnik potęgi

czyli:

\(\displaystyle{ z ^{10}= \sqrt{2} ^{10}(cos(10 \frac{ \pi }{4})+isin(10 \frac{ \pi }{4} )}\)
Resztę juz sobie sam wyliczysz.

Mam nadzieję, ze nigdzie się nie walnąłem, ale tak to mniej-więcej wygląda

dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

jak to obliczyć?

Post autor: dżi-unit » 20 cze 2011, o 14:44

dzięki : )

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

jak to obliczyć?

Post autor: miki999 » 20 cze 2011, o 14:49

Oczywiście można też to zrobić w inny sposób.

1. Za pomocą postaci wykładniczej.
2. Podnosząc najpierw do 2. potęgi, potem do czwartej, ósmej i w sumie zostaje tylko zapisać wynik


Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ