Rozwiązać równanie różniczkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
irongodzilla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2011, o 00:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: irongodzilla » 20 cze 2011, o 00:23

Witam. Potrzebuje rozwiązania następującego równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{1-x-y}}\)
Z warunkiem brzegowym:
\(\displaystyle{ y_{(x=0)}=0}\)
Dzięki za pomoc jak się komuś uda.

Awatar użytkownika
BSP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 2 gru 2008, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W pewnym otoczeniu nieskończoności (Wrocław)
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 6 razy

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: BSP » 20 cze 2011, o 04:24

Próbowałem to policzyć, ale doszedłem do pewnego momentu i chwilowo nie wiem co dalej zrobić, a godzina na zegarze temu nie sprzyja może jutro coś wymyślę. Przedstawiam obliczenia, choć możliwe, że mogłem się gdzieś pomylić.

Wykonaj podstawienie

\(\displaystyle{ x-y=t ,}\) czyli \(\displaystyle{ y=x-t ,}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dt}{dx}}\)

Po podstawieniu otrzymujemy

\(\displaystyle{ 1 - \frac{dt}{dx} = \frac{t}{t-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx} = 1-\frac{t}{t-1} = \frac{1-2t}{1-t}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx} = \frac{1-2t}{1-t}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1-t}{1-2t} dt = \int dx}\)

Policzmy najpierw całkę po lewej stronie:

podstawiamy \(\displaystyle{ 1-t=p}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1-t}{1-2t} dt = \int \frac{p}{2p-1} dp = \frac{1}{2} \int \frac{2p-1}{2p-1} dp + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2p-1}dp =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{p}{2} + \frac{1}{4} \ln|2p-1| + C = \frac{1-t}{2} + \frac{1}{4} \ln|1-2t| + C}\)

Wracając do naszego równania mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1-t}{2} + \frac{1}{4} \ln|1-2t| = x + C}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+y-x}{2} + \frac{1}{4} \ln|1+2y-2x| = x + C}\)

#########################################
Hahaha, na samym początku błąd zrobiłem
Post w takim razie chyba do usunięcia, ewentualnie poprawię jutro w nocy, jeżeli nikt to tego czasu nie odpisze, bo teraz już nie dam rady

pipol

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: pipol » 20 cze 2011, o 09:58

podstaw \(\displaystyle{ y=v+\frac{1}{2} ,x=u+\frac{1}{2}}\) a następnie \(\displaystyle{ t=\frac{v}{u}}\)

irongodzilla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2011, o 00:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: irongodzilla » 20 cze 2011, o 22:27

Ok. Podstawiłem \(\displaystyle{ x=u+\frac{1}{2}, y=v+\frac{1}{2}, t= \frac{v}{u}}\) i wyszło mi coś takiego (byłbym wdzięczny jakby ktoś sprawdził te obliczenia):
\(\displaystyle{ \frac{dv}{du}= \frac{v-u}{v+u}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d(tu)}{du} = \frac{udt+tdu}{du} = \frac{t-1}{t+1}}\)
\(\displaystyle{ u\frac{dt}{du} = \frac{t-1}{t+1} - \frac{t(t+1)}{t+1}=- \frac{t ^{2}+1 }{t+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{u} \frac{du}{dt} =- \frac{t+1}{t ^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ ln \frac{u}{C}=- \frac{1}{2} ln(t ^{2}+1)-arctan(t)}\)
\(\displaystyle{ u=C(t^2+1) ^{- \frac{1}{2} } e ^{-arctan(t)}}\)
\(\displaystyle{ u=C( \frac{v^2}{u^2}+1) ^{ -\frac{1}{2} }e ^{-arctan \frac{y- \frac{1}{2} }{x- \frac{1}{2} } }}\)
\(\displaystyle{ x- \frac{1}{2}=C\left[ \frac{(y- \frac{1}{2})^2 }{(x- \frac{1}{2})^2 }+1 \right] ^{- \frac{1}{2} } e ^{arctan \frac{ \frac{1}{2}-y }{ \frac{1}{2}-x} }}\)
Dla x=0 i y=0:
\(\displaystyle{ C= \frac{ \sqrt{2} }{2} e ^{- \frac{ \pi }{4} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \left[ \frac{(y- \frac{1}{2}) ^{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2}}+1 \right] ^{ \frac{1}{2} } \left( x- \frac{1}{2} \right) =e ^{arctan( \frac{ \frac{1}{2}-y }{\frac{1}{2}-x })- \frac{ \pi }{4} }}\)
\(\displaystyle{ 2\left[ (y- \frac{1}{2})^2+(x- \frac{1}{2})^2 \right]= e ^{2arctan( \frac{ \frac{1}{2}-y }{\frac{1}{2}-x} )- \frac{ \pi }{2} }}\)

Dałoby się teraz przekształcić to jakoś do postaci jawnej?

ODPOWIEDZ