Suma Szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
MioFx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 17 lut 2009, o 22:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Suma Szeregu

Post autor: MioFx » 19 cze 2011, o 23:27

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}\\
\sum_{n=1 }^{ \infty} = \frac{ 2^{n} + 3^{n} }{ 4^{n} }}\)


Moze ktos umialby to ladnie wytlumaczyc i rozpisac bo nie bylo mnie neistety na szeregach a musze umiec:/

ps. Chodzi czywście o podanie sumy szeregów
Ostatnio zmieniony 13 sie 2011, o 19:13 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Suma Szeregu

Post autor: Lbubsazob » 19 cze 2011, o 23:33

Pierwszy szereg:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3n-2}- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3n+1}}\)

W drugim coś mi się wydaje że trzeba policzyć granicę z tw. o 3 ciągach.

Awatar użytkownika
Stoppie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 14 cze 2010, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

Suma Szeregu

Post autor: Stoppie » 19 cze 2011, o 23:54

W zadaniach tego typu najlepiej jest rozpisać sobie całą sumę dla kilku początkowych n (zazwyczaj wystarczy do \(\displaystyle{ n=3}\)), np. \(\displaystyle{ S_{1}=a _{1} = \frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ S _{2}=a _{1}+a _{2}= \frac{1}{4}+ \frac{1}{4 \cdot 7} = \frac{2}{7}}\), \(\displaystyle{ S _{3}=a _{1}+a _{2}+a _{3}= \frac{1}{4}+ \frac{1}{4 \cdot 7}+ \frac{1}{7 \cdot 10}= \frac{3}{10}}\). Zauważasz, że można ogólnie zapisać tą sumę za pomocą wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{k}{3k+1}}\), gdzie k to liczba składników tej sumy, którą chcesz policzyć. Ty masz policzyć sumę od wyrazu pierwszego do \(\displaystyle{ \infty}\), więc liczysz \(\displaystyle{ \lim_{ k\to \infty } \frac{k}{3k+1}}\), co wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Drugi przykład robisz analogicznie.

-- 20 cze 2011, o 00:05 --

Mój błąd. Drugi przykład nie robisz analogicznie. Rozbijasz to na dwa szeregi \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \left( \frac{2}{4} \right) ^{n}+\sum_{1}^{ \infty } \left( \frac{3}{4} \right) ^{n}}\). Są to dwa szeregi geometryczne (powinieneś je pamiętać z matematyki w szkole średniej). Wzór na sumę takich szeregów to \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}}\), gdzie q to podstawa potęgi (\(\displaystyle{ q^{n}}\)), ale ten wzór można stosować tylko dla \(\displaystyle{ |q|<1}\), dla innych q suma jest rozbieżna (równa \(\displaystyle{ \infty}\)). Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 14 sie 2011, o 21:21 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: symbol mnożenia to \cdot, poprawa zapisu nawiasów

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9338
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2046 razy

Suma Szeregu

Post autor: Dasio11 » 20 cze 2011, o 16:17

Stoppie pisze:ale ten wzór można stosować tylko dla \(\displaystyle{ |q|<1}\), dla innych q suma jest rozbieżna (równa \(\displaystyle{ \infty}\))
Dla \(\displaystyle{ q=-1}\) suma nie jest równa \(\displaystyle{ \infty.}\)

Awatar użytkownika
Stoppie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 14 cze 2010, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

Suma Szeregu

Post autor: Stoppie » 13 sie 2011, o 19:00


abc666

Suma Szeregu

Post autor: abc666 » 13 sie 2011, o 19:16

Nie. Dla \(\displaystyle{ -1}\) suma nie istnieje.
Stoppie pisze:Wzór na sumę takich szeregów to \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}}\)
Nie. Przy takiej indeksacji ten wzór to \(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{1-q}}\)

Awatar użytkownika
Stoppie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 14 cze 2010, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

Suma Szeregu

Post autor: Stoppie » 13 sie 2011, o 23:18

No tak, no bo to problem wyciągnąć \(\displaystyle{ a _{1}}\) przed znak sumy. Zapomniałem.

abc666

Suma Szeregu

Post autor: abc666 » 14 sie 2011, o 00:07

Problemem jest podawanie nieprawdziwych wzorów. Fajnie by było jeszcze uzasadnić dlaczego można rozbić na dwa szeregi, jeśli ktoś jest na takim etapie jeśli chodzi o szeregi.

Awatar użytkownika
Stoppie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 14 cze 2010, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 6 razy

Suma Szeregu

Post autor: Stoppie » 14 sie 2011, o 02:16

Nie jestem matką Teresą i jeśli autor zadania o nic nie pyta, to albo znaczy, że zrozumiał albo że ma to gdzieś. A zarówno z pierwszego jak i drugiego powodu nie czuję się zobowiązany do udzielania szczegółowych korepetycji. Jak mogłem pomogłem i nie liczyłem się z tym, że ludzie to idioci, żeby im tłumaczyć, że 2+2=4. Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Suma Szeregu

Post autor: Quaerens » 14 sie 2011, o 10:06

Ostatni:
\(\displaystyle{ S_{n}=\sum_{n=1 }^{ \infty} = \frac{ 2^{n} + 3^{n} }{ 4^{n} }=\sum_{n=1 }^{ \infty} \left( \frac{2}{4} \right) ^n + \sum_{n=1 }^{ \infty} \left( \frac{3}{4} \right) ^n \Rightarrow ^{*} \lim_{n \to \infty} \left[ 1- \left( \frac{2}{4} \right) ^n \right] + \lim_{n \to \infty} \left[ 3-3\cdot \left( \frac{3}{4} \right) ^n \right] =4 \\ \left( * \right) =a_{1}\frac{1-q^n}{1-q}}\)
Ostatnio zmieniony 15 sie 2011, o 00:21 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

ODPOWIEDZ