[Nierówności] Jeszcze jedna nierówność - Zwardoń 2000

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Nierówności] Jeszcze jedna nierówność - Zwardoń 2000

Post autor: Swistak » 19 cze 2011, o 22:00

Dowieść, że dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y, z \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x+y+z)^{x+y+z}x^xy^yz^z \le \frac{3}{4}(x+y)^{x+y}(y+z)^{y+z}(z+x)^{z+x}}\)

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Jeszcze jedna nierówność - Zwardoń 2000

Post autor: Marcinek665 » 20 cze 2011, o 02:31

Diss:    
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Nierówności] Jeszcze jedna nierówność - Zwardoń 2000

Post autor: Swistak » 20 cze 2011, o 16:39

No chyba jednak nie, bo dla \(\displaystyle{ (x, y, z,)=(1, 1, 2)}\) lewa strona jest rowna 1024, a prawa 2187...
I swoją drogą, to pomyliłem rok, ta nierówność pochodzi ze Zwardonia 2001.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Jeszcze jedna nierówność - Zwardoń 2000

Post autor: Marcinek665 » 20 cze 2011, o 16:55

Popoviciu mówi, że ta nierówność powinna iść w drugą stronę. Chyba, że nie umiem liczyć albo \(\displaystyle{ x \ln x}\) nie jest wypukła xD

Ok, Popoviciu daje jedynie taką nierówność:

\(\displaystyle{ (x+y+z)^{x+y+z}x^xy^yz^z \ge \left( \frac{3}{4}\right) ^{x+y+z}(x+y)^{x+y}(y+z)^{y+z}(z+x)^{z+x}}\)

ODPOWIEDZ