Matematyka.pl

Dany jest ciąg liczb \(\displaystyle{ x_i}\) spełniający warunki \(\displaystyle{ x_{m+n} \le x_m + x_n}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ x_1+\frac{x_2}{2}+...+\frac{x_n}{n} \ge x_n}\)

Jakie wyniki?

\(\displaystyle{ x_i \in \mathbb{R}}\) ?
\(\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+}\) ?

A tutaj indukcja nie przejdzie?

Indukcja ze względu na \(\displaystyle{ n}\). Jeśli nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ k\le n}\), to mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \frac{x_i}{i}\ge x_k}\)
Sumując stronami po \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} \frac{x_i}{i}\ge \sum_{k=1}^{n}x_k}\)
Zmieniając kolejność sumowania:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=i}^{n} \frac{x_i}{i}\ge \sum_{k=1}^{n}x_k\\
\sum_{i=1}^{n} (n-i+1) \frac{x_i}{i}\ge \sum_{k=1}^{n}x_k\\
(n+1)\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i} - \sum_{i=1}^{n}x_i\ge \sum_{k=1}^{n}x_k\\
(n+1)\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i} \ge 2\sum_{k=1}^{n}x_k}\)
Ale:
\(\displaystyle{ 2\sum_{k=1}^{n}x_k=\sum_{k=1}^{n}(x_k+x_{n-k+1})\ge \sum_{k=1}^{n}x_{n+1}=nx_{n+1}}\)
więc:
\(\displaystyle{ (n+1)\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i} \ge nx_{n+1}}\)
Po dodaniu stronami \(\displaystyle{ x_{n+1}}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ (n+1)\sum_{i=1}^{n+1}\frac{x_i}{i} \ge (n+1)x_{n+1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}\frac{x_i}{i} \ge x_{n+1}}\)
co kończy dowód indukcyjny.

Q.

patry93 pisze:\(\displaystyle{ x_i \in \mathbb{R}}\) ?
\(\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+}\) ?

Jeju, tak