Granica ciągu z całki oznaczonej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
PL_kolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 15 maja 2010, o 01:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustka
Podziękował: 1 raz

Granica ciągu z całki oznaczonej

Post autor: PL_kolek » 19 cze 2011, o 21:03

Dzień dobry!
mam problem z policzeniem takiego ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+4} + ... + \frac{n}{n^2+n^2}}\)

Zamieniam to na taką sumę:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^2}}\)
I teraz chciałbym sprowadzić to do wzoru na sumę Riemanna, więc wyłączam \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i... zacinam się:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{n^2}{n^{2} + k^2}}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Granica ciągu z całki oznaczonej

Post autor: » 19 cze 2011, o 21:15

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{n^2}{n^{2} + k^2}= \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{1 + \left( \frac kn\right)^2}=\int_0^1\frac{1}{1+x^2} \mbox{d}x}\)

Q.

ODPOWIEDZ