Matematyka.pl

Witam, dlaczego obliczamy pochodną zmiennej w całce ? Wiem jak to się robi ale nie bardzo dlaczego, proszę o jakieś wytłumacznie

Przykład:

\(\displaystyle{ \int e^{x+1}dx}\) za \(\displaystyle{ x+1}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t}\) i teraz dlaczego liczymy że: \(\displaystyle{ dt=1dx}\) i \(\displaystyle{ dx=dt}\) ?

Żeby nie powielać za książkami:



strona 149 i początek 150.

w 100 % jeszcze nie rozumiem ale juz lepiej.. dzięki-- 19 cze 2011, o 20:41 --Mógłby ktoś jeszcze włansymi słowami to opisać bo nie wiem czy dobrze rozumiem. Z góry dzieki

Patrz. Masz przykład:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{x + 1} dx}\)
Pod \(\displaystyle{ x + 1}\) podstawimy \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^t dx}\)
Jeżeli coś takiego byśmy zrobili, to wynik byłby niepoprawny, ponieważ przez to, że całkujemy po \(\displaystyle{ dx}\), to z racji tego, że nie widać w tym równaniu zmiennej \(\displaystyle{ x}\), moglibyśmy wyciągnąć stałą przed całkę
\(\displaystyle{ e^t \int_{}^{} dx = e^t \cdot x = e^{x + 1} \cdot x}\)

Innymi słowy, jeżeli w jakiś sposób zastępujesz wyrażenie ze zmienną, to musisz też podstawić coś pod różniczkę.
1. sprawdz jaka jest różniczka w całce (np. \(\displaystyle{ dx}\)) - oznacza to, że \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną
2. podstaw coś pod \(\displaystyle{ x}\) (np. \(\displaystyle{ 2x + 1 = t}\))
3. podstaw coś pod \(\displaystyle{ dx}\) - pytanie skąd wziąć podstawienie pod \(\displaystyle{ dx}\) no właśnie z wcześniej podstawionego wyrażenia
\(\displaystyle{ 2x + 1 = t / ()'}\)
\(\displaystyle{ 2dx = dt}\)
\(\displaystyle{ dx = \frac{1}{2}dt}\)
Czyli pod \(\displaystyle{ 2x + 1}\) podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) co daje \(\displaystyle{ \int_{}^{} e^t dx}\),
a pod \(\displaystyle{ dx}\) podstawiasz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}dt}\), co daje \(\displaystyle{ \int_{}^{} e^t \cdot \frac{1}{2}dt}\)

Nie wiem czy coś z tego pojmiesz ^.^

Tak, dzieki ;]