Matematyka.pl

Mam za zadanie obliczyć wartości wyrażeń
\(\displaystyle{ f^{(13)} (0) \\ f^{(44)} (0)}\)
jeśli:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{2x^3 + 5}}\)
Przypuszczam, że należy użyć szeregu Taylora - tutaj wokół 0, więc chyba MacLaurina, jednak nie widziałem jak się rozwiązuje jakikolwiek przykład i nie wiem jak to zrobić .. Proszę o pomoc.

No... zróżniczkuj kilka razy... i są dwa wyjścia:
a) zróżniczkujesz 44 razy i znajdziesz wynik
b) zauważysz coś w trakcie tego różniczkowania i od razu podasz wynik (ale kilka razy warto zróżniczkować, żeby zobaczyć, co się dzieje).

Pozdrawiam,
Ciamolek

No jakby chcieć to zróżniczkować 44 razy to chyba by życia nie starczyło...
Chodzi mi właśnie o to co można zauważyć - nie wiem, co mam zauważyć, bo takiego przykładu nie widziałem.. Czy mógłby ktoś pokazać ?
Próbowałem pochodne do 3. rzędu i mi się odechciało.. wstawiłem w program policzyłem wiele więcej tych pochodnych i nic .. Ale właśnie chyba nie chodzi o to, żeby umieć trzaskać coraz to brzydszą pochodną, tylko żeby coś zauważyć ..
Co należy zauważyć ?...

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x^3 + 5} =\frac{x^2 }{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} -(-x^3 )}=\frac{x^2 }{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{2x^3 }{5})}}\)

i teraz skorzystaj z szeregu potęgowego

Rzeczywiście, rada Ciamolka mocno nietrafiona. Sensownym sposobem jest wykorzystanie wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^{\infty}q^n}\). Mamy (dla odpowiednio małych \(\displaystyle{ x}\)):
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2x^3+5}=\frac{x^2}{5}\cdot \frac{1}{1-\left( -\frac 25 x^3 \right) }=\frac{x^2}{5}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left( -\frac 25 x^3 \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac 15 \cdot \left( -\frac 25 \right)^n \cdot x^{3n+2}}\)
Wystarczy teraz porównać współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{44}}\) ze współczynnikiem który mamy ze wzoru Maclaurina.

Q.

Qń, nie rozumiem skąd masz w szeregu: \(\displaystyle{ x^{2n}}\)...

Chyba nie jest tak trudne do zrozumienia, że to literówka. Już poprawiłem.

Q.

Ok, to już rozumiem.. Dla 44 mi wynik wychodzi ok. Dla 13 powinno wyjść 0, a mi wychodzi:

\(\displaystyle{ 3n+2=13\\
n= \frac{11}{3} \\
\frac{ f^{(13)} (0)}{13!} = \frac{1}{5} * (\frac{-2}{5}) ^{ \frac{11}{3} }}\)


Co robię tu źle jeszcze ;/...

LOL! Przepraszam za wprowadzenie w błąd. (albo przynajmniej udzielenie zupełnie nieprzydatnej porady)

Z jakiegoś względu pomyślałem, że zauważymy jakiś rodzaj okresowości lub czegoś w tym rodzaju i wtedy szybko znajdzie się rozwiązanie. Oczywiście mój błąd.

Pozdrawiam,
Ciamolek

\(\displaystyle{ n}\) jest naturalne, więc nie znajdziesz takiego \(\displaystyle{ n}\) żeby spełniało równanie: \(\displaystyle{ 3n+2=13}\)

Racja ... w takim razie jak wyznaczyć nieparzystą pochodną .. ? np. tę 13. ?

skoro nie znajdziesz takiego \(\displaystyle{ n}\) to w tym szeregu nie znajdziesz takiej potęgi więc współczynnik jest równy \(\displaystyle{ 0}\)