Równanie różniczkowe rzędu drugiego

[PAV38]

Równanie:
\(\displaystyle{ y''-7y'+6y=6x+5}\)
Mój sposób rowiązania:
Równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r^{2}-7r+6=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5}\)
\(\displaystyle{ r _{1}=1, r_{2}=6}\)

RORJ:
\(\displaystyle{ y= C_{1} e^{x}+C_{2} e^{6x}}\)

RSRN:
Metoda przewidywania:
Prawa strona = wielomian
\(\displaystyle{ y_{s}=Ax+B}\)

\(\displaystyle{ y'_{s}=A}\)

\(\displaystyle{ y''_{s}=0}\)

Wstawiam do równania początkowego:
\(\displaystyle{ -7A+6Ax+6B=6x+5}\)

\(\displaystyle{ Ax=6x, -7A+6B=5}\)

\(\displaystyle{ A=1, B=2}\)

\(\displaystyle{ y_{s}=x+2}\)

RORN:
\(\displaystyle{ y= C_{1} e^{x}+C_{2} e^{6x}+ x+2}\)
W odpowiedzi mam:
\(\displaystyle{ y= C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2x}+ x+2}\)
Co robię nie tak?

[Qń]

Wszystko robisz poprawnie, błąd jest w odpowiedziach.

Q.

[PAV38]

Ok dziękuję za sprawdzenie.

Można prosić o rowiązanie tego równania, metodą uniwersalną?

[Qń]

Jeśli masz na myśli metodę uzmienniania stałych, to schemat postępowania znajdziesz tu: 140250.htm

Q.

[PAV38]

Coś mi dziwnie wychodzi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} C'_{1} e^{x}+ C'_{2}e^{6x}=0\\C'_{1} e^{x}+ 6C'_{2}e^{6x}=6x+5\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -C'_{1} e^{x}- C'_{2}e^{6x}=0\\C'_{1} e^{x}+ 6C'_{2}e^{6x}=6x+5\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 5C'_{2}e^{6x}=6x+5}\)
\(\displaystyle{ C'_{2}= \frac{6x+5}{5e^{6x}}}\)
Po scałkowaniu: (edit)
\(\displaystyle{ C_{2}= -e ^{6x}(x+1)}\)

I co z tym dalej zrobić?

[Qń]

Źle scałkowałeś - całkę:
\(\displaystyle{ \frac 15\int (6x+5)e^{-6x}}\)
liczy się przez części i wyjdzie coś zdecydowanie innego niż Tobie.

Q.

[PAV38]

I teraz ten wynik wkładam pod wzór na \(\displaystyle{ y_{1}}\) :
\(\displaystyle{ y_{1}= C_{2}e ^{6x} ?}\)

edit:
Faktycznie, po obliczeniu dobrych całek i wsadzeniu wyników pod wzór na \(\displaystyle{ y_{1} i y_{2}}\) wyszło \(\displaystyle{ x+2}\) tak jak miało być.

Dziękuję za pomoc