równania różniczkowe sposób rozwiązania

[AnWi]

Nie ma to jak weekend z matematyką. Równania różniczkowe zupełnie nie wiem jaką metodą rozwiązać. Jakby ktoś w skrócie podpowiedział co zastosować do poszczególnych równań. Myślę, że później jakoś pójdzie. Tu na forum jest sporo przykładów więc będę dalej walczyć. Oczywiście jak ktoś jest chętny to ucieszy mnie rozwiązanie tych przykładów. NA wykładach nie byłam a sesja już mnie dopadnie za moment.

1. \(\displaystyle{ y{'} ( x^{2} + 1)=x (y-2)}\)

2. \(\displaystyle{ y{'} - \frac{y}{x} = x^{4}}\)

3. \(\displaystyle{ (4 x^{3} - 6xy)dx + (3 y^{2} - 3 x^{2} )dy = 0}\)

4. \(\displaystyle{ y{''} + 3 y{'} -4y = x^{2}}\)

5. \(\displaystyle{ y{''} - 2 y{'} + y = \sin x}\)

6. \(\displaystyle{ y{''} + 2 y{'} +8y = 2 e^{3x}}\)

[Spektralny]

Dla przykładu 1.

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}(x^2+1)=x(y-2)}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y-2} = \int\frac{x\cdot dx}{x^2+1}}\)

\(\displaystyle{ \ln|y-2| = \frac{1}{2}\ln(C(x^2+1))}\)

\(\displaystyle{ |y-2| = e^{\frac{1}{2}\ln(C(x^2+1))}}\)

\(\displaystyle{ y = 2 \pm \sqrt{C(x^2+1)}=2+D \sqrt{x^2+1}}\)

gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest pewną stałą.

Przykład 2 polecam przemnożyć obustronnie przez czynnik całkujący \(\displaystyle{ -\ln x}\). Wówczas

\(\displaystyle{ -y\ln x = \int x^4 dx = \frac{1}{5}x^5 +C}\).

[AnWi]

dzięki za pomoc. Mam nadzieję , że coś dalej ruszę. Siedzę już od paru godzin i udało mi się rozwiązać przykład 3. Wyszło mi \(\displaystyle{ C= x^{4} - 3 x^{2} + y^{3}}\) . Jakby komuś udało się to sprawdzić i jeszcze napisał, że dobrze rozwiązałam to byłby sukces

[Mariusz M]

1 równanie o rozdzielanie zmiennych
2 równanie liniowe
3 równanie zupełne
4
5
6 równanie liniowe drugiego rzędu wygodniej będzie przewidywać niż uzmienniać stałe-- 26 września 2011, 13:05 --Spektralny podczas liczenia czynnika całkującego zapomniałeś wziąć exponenty
To jest równanie liniowe i można także zastosować uzmiennianie stałej