Matematyka.pl

Witam wszystkich, to mój pierwszy post tutaj. Piszę, żeby wyjaśnić wątpliwości co do krotności pierwiastków w równaniach. Przeszukałem forum i nie tylko, ale nie znalazłem jednoznacznej odpowiedzi na moje pytanie lub niewystarczająco zrozumiałem te na podobne pytania. Znalazłem informacje mówiące, że krotność pierwiastka to wartość wykładnika przy x. Natomiast w równaniach kwadratowych, przy \(\displaystyle{ \Delta >= 0}\) możemy mieć jeden pierwiastek dwukrotny (dla \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)) lub dwa jednokrotne (\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)). Ok, ale jak określić krotność pierwiastka w takich równaniach:

(r1). \(\displaystyle{ (x-3)(x^{2}+3x+4)}\)
(r2). \(\displaystyle{ (x-2)^{2}(x^{2}+3x+4)}\)
(r3). \(\displaystyle{ (x+1)^{3}(2x^{2}-x+2)}\)

Czy na postawie najwyższej potęgi przy x, jaka zaistnieje po wymnożeniu nawiasów (wtedy

(r1) - krotność 3,
(r2). - krotność 4,
(r3). - krotność 5

?)
czy raczej zauważając, że w każdym z równań kwadratowych \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) i wtedy

(r1). 3 jako jednokrotny pierwiastek
(r2). 2 jako pierwiastek dwukrotny
(r3). -1 jako pierwiastek trzykrotny ?

Potrzebuję tego wyjaśnienia do zdecydowania, czy stosować lub nie metodę bisekcji do rozwiązywania tych równań, gdyż z tego co wiem stosowanie tej metody traci sens w przypadku zer o parzystej krotności. W książce Fortuny, Macukowa "Metody numeryczne" powiedziane jest, że metody siecznych również, ale dodano: przy czym obniża się rząd metody, czego nie rozumiem. Będę wdzięczny za rozjaśnienie tych kwestii, chętnie bez zbyt dużego ładunku teorii.

Pozdrawiam

Musisz rozłożyć każdy z podanych wielomianów do czynników liniowych lub kwadratowych jak \(\displaystyle{ \Delta < 0}\)
Krotność to ile razy dany x jest pierwiastkiem.
Np. w pierwszym będzie to:

\(\displaystyle{ (x-3)(x^{2}+3x+4)

x^{2}+3x+4=0

\Delta < 0}\)
Brak pierwiastków

Czyli pierwiastki i ich krotności to:
\(\displaystyle{ x= 3; k=1}\)
Wielomian ma jeden pierwiastek jednokrotny.

Dwukrotne są wtedy gdy po rozłożeniu jeden czynnik się powtarza np:
\(\displaystyle{ (x-3)(x-1)^{2}}\) wtedy masz \(\displaystyle{ 3}\) jako pierwiastek jednokrotny i \(\displaystyle{ 1}\) jako pierwiastek 2-krotny.

Jeśli chodzi o Twój tok myślenia to tylko ten drugi, ale pamiętaj że jak delta jest równa bądź większa od 0 to dochodzą kolejne pierwiastki.

Zatem przy

(r1). 3 - jednokrotny pierwiastek
(r2). 2 - pierwiastek dwukrotny
(r3). -1 - pierwiastek trzykrotny

metodę bisekcji mogę stosować tylko do poszukiwania zer dla (r1) i (r3), dobrze rozumuję? Chciałbym znaleźć potwierdzenie lub zaprzeczenie tego zanim zacznę coś implementować.

(r1). 3 - jednokrotny pierwiastek
(r2). 2 - pierwiastek dwukrotny
(r3). -1 - pierwiastek trzykrotny

Wręcz na odwrót.

Nie rozumiem, mogę prosić o wyjaśnienie?

Wzór ogólny na krotność masz \(\displaystyle{ (x-x _{0}) ^{k}}\)
k-krotność.
a więc jak masz \(\displaystyle{ (x-3)(x^{2}+3x+4)}\)
to masz \(\displaystyle{ (x-3) ^{1}}\) czyli pierwiastek 3 jest jednokrotny


Jak masz \(\displaystyle{ (x-2)^{2}(x^{2}+3x+4)}\)
to \(\displaystyle{ (x-2)^{2}}\) czyli pierwiastkiem jest 2 i jest on dwukrotny

Teraz czas na Twoją próbę z ostatnim przykładem i może moim tak abym sprawdził ( i Ty sam też się sprawdził):

\(\displaystyle{ x(x-1) ^{2} (x+2) ^{3}}\)
Wylicz pierwiastki i podaj ich krotność

\(\displaystyle{ (x)}\) -> 0 - pierwiastek jednokrotny
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}}\) -> 1 - pierwiastek dwukrotny
\(\displaystyle{ (x+2)^{3}}\) -> -2 - pierwiastek trzykrotny

Jeśli przeszedłem ten test: w takim razie to, co napisałem wcześniej:
(r1). 3 - jednokrotny pierwiastek
(r2). 2 - pierwiastek dwukrotny
(r3). -1 - pierwiastek trzykrotny
było niepoprawne? Chodzi mi o to, czy moje założenie, że skoro \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) w równaniach kwadratowych, to krotność pierwiastka zależy tylko od "pierwszego w kolejności nawiasu" jest dobre w tym miejscu.

Tak, bo to z pierwszego nawiasu będzie jedynym pierwiastkiem rzeczywistym

Dziękuję, o to mi chodziło.

Nie ma za co