Matematyka.pl

Mam drobne problemy z rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} + \frac{ \partial u}{ \partial y} = 0 , war. pocz. u\left( x, 0\right) = e^{x}}\)

\(\displaystyle{ x \frac{ \partial u}{ \partial x} +y \frac{ \partial u}{ \partial y} = 0 , war. pocz. u\left( x, 1\right) = sin(x)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x^{2} } = 0 , war. pocz. - u\left( o, y\right) = y^{2} , \frac{ \partial u}{ \partial x} \left( 0, y\right) = 2y}\)

Metoda charakterystyk
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{dx}{dt}=1,\ x(0)=s\\\frac{dy}{dt}=1,\ y(0)=0\\\frac{du}{dt}=0,\ u(0)=e^s\end{cases}\\
\begin{cases}x=t+C_1,\ x(0)=s\\y=t+C_2,\ y(0)=0\\u=C_3,\ u(0)=e^s\end{cases}\\
\begin{cases}x=t+s\\y=t\\u=e^s\end{cases}\\
s=x-y\\
u(x,y)=e^{x-y}\\
\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x,\ x(0)=s\\\frac{dy}{dt}=y,\ y(0)=1\\\frac{du}{dt}=0,\ u(0)=\sin s\end{cases}\\
\begin{cases}x=C_1e^t,\ x(0)=s\\y=C_2e^t,\ y(0)=1\\u=C_3,\ u(0)=\sin s\end{cases}\\
\begin{cases}x=se^t\\y=e^t\\u=\sin s\end{cases}\\
s=\frac{x}{y}\\
u(x,y)=\sin\frac{x}{y}\\
\frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x^{2} } = 0\\
\frac{ \partial u}{ \partial x } = \int 0 dx +C(y)=C(y)\\
\frac{ \partial u}{ \partial x }(0,y) = C(y)=2y\\
u=\int C(y)dx+D(y)=2xy+D(y)\\
u(0,y)=D(y)=y^2\\
u(x,y)=y^2+2xy\\}\)

Matematyka.pl

Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1

Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1

Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1