rozwiąz układ równań

[michalbaran12]

Wiatm potrzebuke pomocy w rozwiązaniu układu równań i jak by ktos mi rozwiązał to bym był bardzo wdzięczny
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt}-3x-8y=0 \\ \frac{dy}{dt}+x+3y=0\end{cases}}\)
z góry dziękuje za pomioc

[lukasz1804]

Rozważmy dany układ w postaci normalnej: \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=3x+8y \\ \frac{dy}{dt}=-x-3y\end{cases}}\) oraz odpowiadającą mu macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 8 \\ -1 & -3 \end{array}\right]}\). Należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości własne tej macierzy. Mamy \(\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0\iff (3-\lambda)(-3-\lambda)-8\cdot(-1)=0\iff \lambda^2-1=0\iff \lambda=-1\vee\lambda=1}\).
Dla każdej z otrzymanych wartości własnych wyznaczmy wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\).
Dla \(\displaystyle{ \lambda=-1}\) mamy \(\displaystyle{ x=-2y}\), więc wektorem własnym jest np. \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right]}\).
Podobnie dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) mamy \(\displaystyle{ x=-4y}\), więc wektorem własnym jest np. \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right]}\).
Dwa liniowo niezależne rozwiązania danego układu są zatem postaci \(\displaystyle{ \varPhi_1(t)=e^{-t}\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right], \varPhi_2(t)=e^t\left[\begin{array}{c} -4 \\ 1 \end{array}\right]}\).
Rozwiązanie ogólne równania stanowią funkcje postaci \(\displaystyle{ \varPhi(t)=\alpha\varPhi_1(t)+\beta\varPhi_2(t)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha, \beta\in\mathbb{R}}\).