Matematyka.pl

witam was serdecznie i jednocześnie proszę o pomoc
mam tu sześć równań różniczkowych z których trzech nie jestem pewien

a) \(\displaystyle{ y ^{\prime} +e ^{x} =0}\)
nie wiem czy tak można ale wykombinowałem coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{dy}{x ^{2} } =-e ^{x}}\)
scałkowałem po obu stronach x do kwadratu przeniosłem na druga stronę i otrzymałem coś takiego
\(\displaystyle{ y=(c-e ^{x})x ^{2}}\)

b) \(\displaystyle{ x ^{2}y ^{\prime} +y ^{2}=0}\)
tutaj bez żadnych problemów dostałem
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{cx-1}}\)

c)\(\displaystyle{ x e^{x}y ^{\prime}-2y ^{2} =0}\)
tutaj próbowałem jak wyżej w przykładzie a ale trudne całki mi wychodziły do policzenia, więc jeśli mógłby mi ktoś opisać jakiś schemat rozwiązywania tego typu całek to byłbym bardzo wdzięczny

d) \(\displaystyle{ y ^{\prime}-x ^{3}y=0}\)
i wyszło mi
\(\displaystyle{ y=ce ^{ \frac{1}{4}x ^{4} }}\)

e) \(\displaystyle{ xy ^{\prime} -2y=0}\)
dostałem
\(\displaystyle{ y=ce ^{2\ln|x|}}\) >>>PS. dałoby się coś zrobić z tym logarytmem w wykładniku potęgi?

f) \(\displaystyle{ y ^{\prime}=e ^{x+y}}\)
\(\displaystyle{ y ^{\prime}=e ^{x}e ^{y}}\)
doszedłem do postaci
\(\displaystyle{ e ^{y}=-e ^{-x}}\)
i nie wiem co dalej



byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś wypowiedział się na temat mojej pracy i wskazał mi ewentualne błędy i oczywiście wskazał mi właściwą drogę do rozwiązania

z góry dziękuje za wasze wypowiedzi (z wyjątkiem tych które niczego sensownego nie wnoszą do tego tematu)

a) zle, w jaki sposob z pierwszej postaci otrzymales to drugie rownanie? tam nie ma nigdzie \(\displaystyle{ x^2}\)
b) dobrze
c) calka nieeelementarna, musisz zostawic w takiej postaci
d) dobrze
e) \(\displaystyle{ 2\ln|x|=\ln|x|^2=\ln x^2}\)
f) uwzglednij stala calkowania

sorry tam w pierwszym równaniu zrobiłem błąd, powinno być tak
\(\displaystyle{ y ^{'}+e ^{x}x ^{2}}\)

i wracając do tego c, to co to znaczy że całka jest nieelementarna?


GDYBY KTOŚ MÓGŁ WRZUCAM JESZCZE PARĘ RÓWNAŃ DO SPRAWDZENIA

1) \(\displaystyle{ x+y+xy ^{'} =0}\)

\(\displaystyle{ y=cx ^{2}- \frac{1}{2}}\)
__________

2) \(\displaystyle{ x ^{2}y ^{'} = x^{2}+xy+y ^{2}}\)

\(\displaystyle{ y=xtg(ln|x|+c)}\)
__________

3) \(\displaystyle{ y ^{'}= \frac{2xy-y ^{2} }{2xy-x ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ y=x(cx ^{-3}+ \frac{1}{2} )}\)
__________

4) \(\displaystyle{ y ^{'} = \frac{1}{x+y}}\)

\(\displaystyle{ y= \sqrt{2x+c}-x}\)
__________

5) \(\displaystyle{ y ^{'}= \frac{1}{4x+y}+4x+y-4}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}ce ^{2x}-4x}\)
__________

6) \(\displaystyle{ y ^{'} =(x-y+8) ^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ y=x+8- \frac{1}{x+c}}\)
__________

7) \(\displaystyle{ y ^{'} =(3x-y+6) ^{2} +3}\)

\(\displaystyle{ y=3x+6- \frac{1}{x+c}}\)