Matematyka.pl

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\left| \frac{1}{2}x+2 \right| +\left| \frac{3}{2}x-3 \right| -5}\). Zapisz wzór funkcji \(\displaystyle{ h(x)= \frac{\left| f(x)\right| }{f(x)}}\) bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i narysuj jej wykres.

Najpierw rozpatrz wszystkie 3 przypadki.
\(\displaystyle{ x>-2}\)
\(\displaystyle{ 2>x \ge -2}\)
\(\displaystyle{ x \ge 2}\)

Na pewno takie powinny być te przedziały?

wychodzą trzy fukcje;-D
jedna dla przedziału do >-4 .tj -2x - 4
druga dla przedziału (-4,2), tj. -x
a trzecia dla prz. 2<, tj. 2x-6
i rysujesz f-cje;-D

dobrze ale to będzie funkcja f(x), jak napisać wzór h(x)?

Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ |a|+|b| = max\lbrace |a+b| ; |a-b| \rbrace}\) mamy:

\(\displaystyle{ f(x) = |frac{1}{2}x+2|+|frac{3}{2}x-3|-5 = maxlbrace|2x-1|-5 ; |-x+5|-5
brace = egin{cases} -2x-4 wedge xin (-infty ; -4] \ -x wedge xin (-4;2) \ 2x-6 wedge xin [2;+infty) end{cases}}\)

Teraz rozważamy 5 sytuacji:

1) \(\displaystyle{ x\in (-\infty ; -4] \Rightarrow |f(x)| = f(x) = -2x-4 \Rightarrow h(x) = 1}\)

2) \(\displaystyle{ x\in (-4 ; 0) \Rightarrow f(x) = -x \wedge |f(x)| = -x \Rightarrow h(x) = 1}\)

3) \(\displaystyle{ x\in (0 ; 2) \Rightarrow f(x) = -x \wedge |f(x)| = x \Rightarrow h(x) = -1}\)

4) \(\displaystyle{ xin [2 ; 3) Rightarrow f(x) = 2x-6 wedge |f(x)| = -(2x-6) Rightarrow h(x) = -1}\)

5) \(\displaystyle{ x\in (3 ; +\infty) \Rightarrow f(x) = 2x-6 \wedge |f(x)| = 2x-6 \Rightarrow h(x) = 1}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ h(x) = \begin{cases} -1 \wedge x\in (0;3)\\ 1 \wedge x\in (-\infty ; 0) \cup (3 ; +\infty) \end{cases}}\)

Pozdrawiam.

ślicznie dziękuje

oczywiście że -4 i 2. Co się popisałem...