Macierz odwzorowania

[emelcia]

Witam! Mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ V =\mathbb{R}_2 [ X ]}\) oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 2 o
współczynnikach rzeczywistych.
a) Sprawdź, że odwzorowanie \(\displaystyle{ L: V \rightarrow V}\) dane wzorem \(\displaystyle{ L(q)(x)=(3+x)q'(x)}\) jest liniowe (\(\displaystyle{ q'}\) oznacza pochodną)
b) Podaj macierze tego odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ \{1, x , x^{2} \}}\) .

Z a) dałam radę, ale nie wiem jak zrobić b)...
Zapewne podstawić \(\displaystyle{ L(1)}\), \(\displaystyle{ L(x)}\) i \(\displaystyle{ L( x^{2} )}\) ale... nei umiem tego wyliczyć :/
Bardzo proszę o pomoc...

[xiikzodz]

Niech ta macierz to \(\displaystyle{ A=(a_{ij})}\).

\(\displaystyle{ L(1)=0=a_{11}\cdot 1+a_{12}\cdot x+a_{13}\cdot x^2}\),

skąd

\(\displaystyle{ a_{11}=a_{12}=a_{13}=0}\).

\(\displaystyle{ L(x)=3+x=a_{21}\cdot 1+a_{22}\cdot x+a_{23}\cdot x^2}\),

skąd

\(\displaystyle{ a_{21}=3,\:\:\:a_{22}=1,\:\:\:a_{23}=0}\).

\(\displaystyle{ L(x^2)=(3+x)\cdot 2x=6x+2x^2=a_{31}\cdot 1+a_{32}\cdot x=+a_{33}\cdot x^2}\),

skąd

\(\displaystyle{ a_{31}=0,\:\:\:a_{32}=6,\:\:\:a_{33}=2}\).

stąd postać macierzy:

\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0&0&0\\3&1&0\\0&6&2\end{pmatrix}}\)

[emelcia]

aj, to już zrozumiałam
dziękuję!

A teraz gorsza sprawa...:
Podaj macierze tego odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ \{1-x, 1+x , x^{2} \}}\).
I co teraz - podstawiam wielomian?
Liczyć z tego pochodną czy jak?

[xiikzodz]

Przedstawiamy obrazy nowych wektorów bazowych w nowej bazie:

\(\displaystyle{ L(1-x)=(3+x)\cdot(-1)=-3-x=-(1-x)-2\cdot(1+x)}\),

\(\displaystyle{ L(1+x)=(3+x)\cdot 1=3+x=(1-x)+2\cdot(1+x)}\),

\(\displaystyle{ L(x^2)=(3+x)\cdot 2x=6x+2x^2=-3\cdot(1-x)+3\cdot(1+x)+2x^2}\),

Wobec czego macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}-1&-2&0\\1&2&0\\-3&3&2\end{pmatrix}}\)

[emelcia]

Przedstawiamy obrazy nowych wektorów bazowych w nowej bazie:

\(\displaystyle{ L(1-x)=(3+x)\cdot(-1)=-3-x=-(1-x)-2\cdot(1+x)}\),

\(\displaystyle{ L(1+x)=(3+x)\cdot 1=3+x=(1-x)+2\cdot(1+x)}\),

\(\displaystyle{ L(x^2)=(3+x)\cdot 2x=6x+2x^2=-3\cdot(1-x)+3\cdot(1+x)+2x^2}\),

Wobec czego macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}-1&-2&0\\1&2&0\\-3&3&2\end{pmatrix}}\)

Może to głupie pytanie, ale... jak się domyślić, że trzeba to tak rozbić?
\(\displaystyle{ =-3-x=-(1-x)-2\cdot(1+x)}\),

\(\displaystyle{ =(1-x)+2\cdot(1+x)}\),

\(\displaystyle{ =-3\cdot(1-x)+3\cdot(1+x)+2x^2}\)

[alfgordon]

\(\displaystyle{ L(1-x)=(3+x)\cdot(-1)=-3-x=\alpha (1-x) +\beta (1+x) +\gamma (x^2 )}\)

szukasz \(\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma}\) i są to współrzędne wektora w nowej bazie

[emelcia]

Zrozumiałam, dziękuję! -- 10 cze 2011, o 20:48 --I jeszcze jeden problem - rzut ortogonalny wektora...

1. Wyznacz rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ x^{2}}\) na podprzestrzeni wielomianowej stopnia co najwyżej 1 z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ <p,q> = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)}\).
Jakby ktoś wyraził chęć pomocy, to byłabym wdzięczna

Ach, i jeszcze pytanko: "liniowo niezależne wektory własne macierzy A odpowiadają jej różnym wartościom własnym" - prawda to czy fałsz?

[zone21]

Wydaje mi sie że sie troszeczkę pomyliłeś mianowicie wyniki zapisuje sie w kolumnach i macierze będą wyglądały następująco:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&3&0\\0&1&6\\0&0&2\end{pmatrix}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}-1&1&-3\\-2&2&3\\0&0&2\end{pmatrix}}\)

[xiikzodz]

Zgadza się. Powinno być w kolumnach.

Ach, i jeszcze pytanko: "liniowo niezależne wektory własne macierzy A odpowiadają jej różnym wartościom własnym" - prawda to czy fałsz?

Prawda.

Co do rzutu. Tu akurat prosto, bo wektor \(\displaystyle{ x^2}\) jest prostopadły do przestrzeni wielomianów stopnia niewiększego niż 1, zatem jego rzutem na tę podprzestrzeń jest zero. W ogólności zagadnienie polega na znalezieniu takiego wektora \(\displaystyle{ v}\) z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) na którą rzutujemy, że jeśli dany wektor oznaczymy \(\displaystyle{ w}\), to:

\(\displaystyle{ \langle w-v,u\rangle=0}\)

dla każdego \(\displaystyle{ u\in V}\). Tutaj \(\displaystyle{ v=0}\), bo w jest prostopadłu do każdego \(\displaystyle{ u\in V}\).

[zone21]

A dlaczego uwazasz że jest prostopadly?

[xiikzodz]

Przez pomyłkę. Jeszcze raz:

Szukamy wielomianów (stopnia niewiększego niż 2) prostopadłych jednocześnie do wielomianu \(\displaystyle{ 1}\) i do wielomianu \(\displaystyle{ x}\). Niech \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) będzie takim wielomianem. Wówczas z prostopadłości do \(\displaystyle{ 1}\) mamy:

\(\displaystyle{ 0=c+a+b+c+4a+2b+c=5a+3b+3c}\)

a z prostopadłości do x mamy:

\(\displaystyle{ 0=a+b+c + 2(4a+2b+c)=9a+5b+3c}\).

Tu szukamy rozwiązań dla \(\displaystyle{ a=1}\), skąd:

\(\displaystyle{ b=-2, c=\frac 13}\).

Ostatecznie więc:

\(\displaystyle{ x^2=\left(x^2-2x+\frac 13\right)+2x-\frac 13}\)

i odpowiedzią jest wielomian:

\(\displaystyle{ 2x-\frac 13}\).