Matematyka.pl

Witam

Mam problem z zadaniem

Znajdź rozkład zmiennej \(\displaystyle{ U=\frac{x}{y}}\) gdzie zmienne niezależne pochodzące z rozkładu normalnego tj

\(\displaystyle{ x \in N(\mu_1,\sigma_1)}\) i \(\displaystyle{ y \in N(\mu_2,\sigma_2)}\)

Niech \(\displaystyle{ f,g}\) będą gęstościami tych rozkładów. Wówczas wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład produktowy, a więc gęstość \(\displaystyle{ f(x)g(y)}\). Warto wyznaczyć najpierw dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\):
\(\displaystyle{ P(\frac{x}{y}<t) = \int_{\frac{x}{y}<t} f(x)g(y)dx dy}\).
Teraz warto przejść na współrzędne biegunowe i trochę się pomęczyć, żeby wyznaczyć miarę kątów spełniających nierówność \(\displaystyle{ ctg(x)<t}\); powinien chyba wyjść rozkład Cauchy'ego.