Podstawy logiki i informacje ogólne o zbiorach
: 7 cze 2011, o 18:00
Wiadomości te są elementarne i przeznaczone dla początkujących matematyków(podstawówka, gimnazjum)
1. Rachunek zdań
(1 oznacza zdanie prawdziwe, 0 oznacza zdanie fałszywe)
a)Koniunkcja(AND)
\(\displaystyle{ p\wedge q}\), czytamy "p i q"
\(\displaystyle{ 1\wedge 1=1 \\
1\wedge 0=0 \\
0\wedge 1=0 \\
0\wedge 0=0}\)
b)Alternatywa(OR)
\(\displaystyle{ p\vee q}\), czytamy "p lub q"
\(\displaystyle{ 1\vee 1=1 \\
1\vee 0=1 \\
0\vee 1=1 \\
0\vee 0=0}\)
c)Implikacja
\(\displaystyle{ p\Rightarrow q}\), czytamy "p jeżeli q"
\(\displaystyle{ 1\Rightarrow 1=1 \\
1\Rightarrow 0=0 \\
0\Rightarrow 1=1 \\
0\Rightarrow 0=1}\)
d)Równoważność zdań
\(\displaystyle{ p\Leftrightarrow q}\), czytamy "p wtedy i tylko wtedy, gdy q"
\(\displaystyle{ 1\Leftrightarrow 1=1 \\
1\Leftrightarrow 0=0 \\
0\Leftrightarrow 1=0 \\
0\Leftrightarrow0=1}\)
2. Kwantyfikatory
a)kwantyfikator duży(ogólny) - czyt. dla każdego...
\(\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R}\quad x^{2} \ge 0}\)
lub
\(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}} x^{2} \ge 0}\)
Powyższe zdania znaczą tyle sam co: "Dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, x podniesiony do potęgi drugiej jest większy bądź równy od 0"
b)kwantyfikator mały(szczegółowy)- czy. istnieje taki...
\(\displaystyle{ \exists x\in\mathbb{R}\quad x^{2} = 2}\)
lub
\(\displaystyle{ \bigvee_{x\in\mathbb{R}} x^{2} = 2}\)
Powyższe zdania znaczą tyle sam co: "Istnieje taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych,że x podniesiony do potęgi drugiej jest równy 2"
Można również wyróżnić specjalny kwantyfikator, który znaczy: istnieje dokładnie jeden...
\(\displaystyle{ \exists! x\in\mathbb{R}\quad x^{2} = 0}\)
Powyższe zdanie znaczy tyle sam co: "Istnieje dokładnie jeden taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych,że x podniesiony do potęgi drugiej jest równy 0"
3. Zbiory
a) działania na zbiorach
-suma zbiorów - wszystkie elementy znajdujące się w danych zbiorach
\(\displaystyle{ A \cup B = \{x\in\mathbb{R}:x \in A \vee x \in B\}}\)
-iloczyn zbiorów - wspólne elementy danych zbiorów
\(\displaystyle{ A \cap B = \{x\in\mathbb{R}:x \in A \wedge x \in B\}}\)
-różnica zbiorów - elementy zbioru A, nie występujące w zbiorze B
\(\displaystyle{ A \setminus B = \{x\in\mathbb{R}:x \in A \wedge x \not\in B\}}\)
-podzbiory - A jest podzbiorem zbioru B, jeśli wszystkie elementy A należą również do zbioru B
\(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow \bigwedge_{x\in A}x \in B}\)
-równość zbiorów - każdy element zbioru A należy do zbioru B oraz każdy element zbioru B należy do zbioru A
\(\displaystyle{ A = B \Leftrightarrow \bigwedge_{x\in A}x \in B \wedge \bigwedge_{x\in B}x \in A}\)
b) przedziały liczbowe
\(\displaystyle{ (a_1;a_2)=\{x\in\mathbb{R}:x>a_1\wedge x<a_2\}}\) (przedział otwarty)
\(\displaystyle{ \langle a_1;a_2 \rangle=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział domknięty)
\(\displaystyle{ [ a_1;a_2 ]=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział domknięty)
\(\displaystyle{ (a_1;a_2 \rangle=\{x\in\mathbb{R}:x > a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział prawostronnie domknięty)
\(\displaystyle{ (a_1;a_2 ]=\{x\in\mathbb{R}:x > a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział prawostronnie domknięty)
\(\displaystyle{ \langle a_1;a_2)=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x < a_2\}}\) (przedział lewostronnie domknięty)
\(\displaystyle{ [ a_1;a_2)=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x < a_2\}}\) (przedział lewostronnie domknięty)
c)nazewnictwo zbiorów
\(\displaystyle{ \emptyset}\) - zbiór pusty
\(\displaystyle{ \{a\}}\) - zbiór jednoelementowy
\(\displaystyle{ \{a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n\}}\) - zbiór wieloelementowy (zakładając,że \(\displaystyle{ n\ge2}\) i wszystkie elementy są różne)
1. Rachunek zdań
(1 oznacza zdanie prawdziwe, 0 oznacza zdanie fałszywe)
a)Koniunkcja(AND)
\(\displaystyle{ p\wedge q}\), czytamy "p i q"
\(\displaystyle{ 1\wedge 1=1 \\
1\wedge 0=0 \\
0\wedge 1=0 \\
0\wedge 0=0}\)
b)Alternatywa(OR)
\(\displaystyle{ p\vee q}\), czytamy "p lub q"
\(\displaystyle{ 1\vee 1=1 \\
1\vee 0=1 \\
0\vee 1=1 \\
0\vee 0=0}\)
c)Implikacja
\(\displaystyle{ p\Rightarrow q}\), czytamy "p jeżeli q"
\(\displaystyle{ 1\Rightarrow 1=1 \\
1\Rightarrow 0=0 \\
0\Rightarrow 1=1 \\
0\Rightarrow 0=1}\)
d)Równoważność zdań
\(\displaystyle{ p\Leftrightarrow q}\), czytamy "p wtedy i tylko wtedy, gdy q"
\(\displaystyle{ 1\Leftrightarrow 1=1 \\
1\Leftrightarrow 0=0 \\
0\Leftrightarrow 1=0 \\
0\Leftrightarrow0=1}\)
2. Kwantyfikatory
a)kwantyfikator duży(ogólny) - czyt. dla każdego...
\(\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R}\quad x^{2} \ge 0}\)
lub
\(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}} x^{2} \ge 0}\)
Powyższe zdania znaczą tyle sam co: "Dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, x podniesiony do potęgi drugiej jest większy bądź równy od 0"
b)kwantyfikator mały(szczegółowy)- czy. istnieje taki...
\(\displaystyle{ \exists x\in\mathbb{R}\quad x^{2} = 2}\)
lub
\(\displaystyle{ \bigvee_{x\in\mathbb{R}} x^{2} = 2}\)
Powyższe zdania znaczą tyle sam co: "Istnieje taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych,że x podniesiony do potęgi drugiej jest równy 2"
Można również wyróżnić specjalny kwantyfikator, który znaczy: istnieje dokładnie jeden...
\(\displaystyle{ \exists! x\in\mathbb{R}\quad x^{2} = 0}\)
Powyższe zdanie znaczy tyle sam co: "Istnieje dokładnie jeden taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych,że x podniesiony do potęgi drugiej jest równy 0"
3. Zbiory
a) działania na zbiorach
-suma zbiorów - wszystkie elementy znajdujące się w danych zbiorach
\(\displaystyle{ A \cup B = \{x\in\mathbb{R}:x \in A \vee x \in B\}}\)
-iloczyn zbiorów - wspólne elementy danych zbiorów
\(\displaystyle{ A \cap B = \{x\in\mathbb{R}:x \in A \wedge x \in B\}}\)
-różnica zbiorów - elementy zbioru A, nie występujące w zbiorze B
\(\displaystyle{ A \setminus B = \{x\in\mathbb{R}:x \in A \wedge x \not\in B\}}\)
-podzbiory - A jest podzbiorem zbioru B, jeśli wszystkie elementy A należą również do zbioru B
\(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow \bigwedge_{x\in A}x \in B}\)
-równość zbiorów - każdy element zbioru A należy do zbioru B oraz każdy element zbioru B należy do zbioru A
\(\displaystyle{ A = B \Leftrightarrow \bigwedge_{x\in A}x \in B \wedge \bigwedge_{x\in B}x \in A}\)
b) przedziały liczbowe
\(\displaystyle{ (a_1;a_2)=\{x\in\mathbb{R}:x>a_1\wedge x<a_2\}}\) (przedział otwarty)
\(\displaystyle{ \langle a_1;a_2 \rangle=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział domknięty)
\(\displaystyle{ [ a_1;a_2 ]=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział domknięty)
\(\displaystyle{ (a_1;a_2 \rangle=\{x\in\mathbb{R}:x > a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział prawostronnie domknięty)
\(\displaystyle{ (a_1;a_2 ]=\{x\in\mathbb{R}:x > a_1\wedge x \le a_2\}}\) (przedział prawostronnie domknięty)
\(\displaystyle{ \langle a_1;a_2)=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x < a_2\}}\) (przedział lewostronnie domknięty)
\(\displaystyle{ [ a_1;a_2)=\{x\in\mathbb{R}:x \ge a_1\wedge x < a_2\}}\) (przedział lewostronnie domknięty)
c)nazewnictwo zbiorów
\(\displaystyle{ \emptyset}\) - zbiór pusty
\(\displaystyle{ \{a\}}\) - zbiór jednoelementowy
\(\displaystyle{ \{a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n\}}\) - zbiór wieloelementowy (zakładając,że \(\displaystyle{ n\ge2}\) i wszystkie elementy są różne)