Matematyka.pl

Witam,

Nie wiem jak rozwiązać takie zadanie:

Temat: W trójkącie ABC wybrano punkt A1 na boku BC i punkt C1 na boku AB tak, że

\(\displaystyle{ |A_1C|=\frac{1}{3}|BC|}\) oraz \(\displaystyle{ |C_1B|=\frac{1}{3}|AB|}\)

Proste AA1 oraz CC1 przecinają się w punkcje Q.

a) przyjmując jako dane pole S trójkąta ABC, oblicz pola figur, na jakie został on podzielony.
b) w tym samym trójkącie na boku AC obrano punkt B1 tak, że \(\displaystyle{ |B_1A|=\frac{1}{3}|AC|}\). Prosta BB1 przecina proste AA1 i CC1 odpowiednio w punktach P i R. Wykaż, że pole trójkąta PQR jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{7}S}\)


Obliczyłem już do podpunktu a), że:

\(\displaystyle{ P_{AA_1C}=\frac{1}{3}S}\)

\(\displaystyle{ P_{CC_1B}=\frac{1}{3}S}\)

\(\displaystyle{ P_{AA_1B}=\frac{2}{3}S}\)

\(\displaystyle{ P_{CC_1A}=\frac{2}{3}S}\)

\(\displaystyle{ P_{AQC}-P_{CA_1Q}=\frac{1}{3}S}\)

I w tym miejscu niestety stanąłem. Jak macie jakiś pomysł, to pomóżcie.

Dla ułatwienia niech \(\displaystyle{ A_1}\)=D oraz\(\displaystyle{ C_1}\)=F i niech prosta BQ przecina AC w E. . Korzystając na przykład z tw.Cevy dla danej sytuacji mam: CE/EA=1/4. Korzystając na przykład z tw Menelaosa dla trójkąta ACF i prostej BE mam:CQ/QF=(EC/AE)(BA/FB)=3/4 czyli (Δ AFC) / (Δ AQC)=FC/QC=7/3 ale (Δ AFC) =2/3 S, więc z tego spokojnie obliczam (Δ AQC), a potem pozostałe trójkąty. ( Δ ...) oznacza pole trójkąta ...
Pozdrawiam