Matematyka.pl

Witam, w rozwiązywaniu całek mam problem z wyznaczeniem granic całkowania - niezbyt dobrze rozumiem dlaczego, co i jak. Dlatego postanowiłem zrobić kilka przykładów z krysickiego. Prosiłbym o sprawdzenie czy poprawnie wyznaczyłem granice całkowania w zadaniach. Jeśli nie to proszę o korektę i wyjaśnienie dlaczego tak a nie inaczej.

1. Znaleźć masę części kuli o promieniu R znajdującej się w pierwszej ósemce układu współrzędnychj, jeżeli gęstość tej bryły jest w każdym jej punkcie równa odległości tego punktu od płaszczyzny Oxy.

Z warunków zadania mam: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}\) - kula
\(\displaystyle{ x \ge 0;y \ge 0;z \ge 0}\) - pierwsza ósemka układu współrzędnych
\(\displaystyle{ x+y+z}\) gęstość bryły
czyli: \(\displaystyle{ \iiint(x+y+z)dxdydz=\int_{0}^{R}dx\int_{0}^{ \sqrt{ R^{2}-x^{2} } }dy\int_{0}^{ \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} }(x+y+z)dz}\)

2. Znaleźć masę kuli o promieniu c leżącej w pierwszej ósemce układu współprzędnych i ograniczonej powierzchnią \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}=1}\) (a \(\displaystyle{ \le}\)c, b \(\displaystyle{ \le}\)c) wiedząc że gęstość w każdym punkcie (x, y, z)=z
Z warunków zadania mam: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}}\) - kula
\(\displaystyle{ x \ge 0;y \ge 0;z \ge 0}\) - pierwsza ósemka układu współrzędnych
\(\displaystyle{ \iiint z dxdydz=\int_{a}^{c}dx\int_{b(1- \frac{x}{a} )}^{ \sqrt{ c^{2}-x^{2} }}dy\int_{0}^{\sqrt{c^{2}-x^{2}-y^{2}}}zdz}\)

3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej płaszczyzną Oxy, powierzchnią walcową \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}= r^{2}}\) i paraboloidą hiperboliczną o równaniu \(\displaystyle{ z= \frac{ x^{2} }{2a}- \frac{ y^{2} }{2b}}\)

Tutaj zapewne należy zastosować zamianę na współrzędne walcowe, więc:
\(\displaystyle{ x=q\cos \alpha; y=q \sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ 0 \le q \le r}\), \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \iint \left(\frac{ (q\cos \alpha)^{2} }{2a}- \frac{(q \sin\alpha)^{2} }{2b}\right)qdqd \alpha=\int_{0}^{r}dq\int_{0}^{2 \pi }\left(\frac{ (q\cos \alpha)^{2} }{2a}- \frac{(q \sin\alpha)^{2} }{2b}\right)qd \alpha}\)

4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:\(\displaystyle{ 2z=4- x^{2}- y^{2},z=2-x-y,z=0, y=0, x=0}\)
\(\displaystyle{ \iiint \frac{4- x^{2}- y^{2}}{2} dxdydz=\int_{0}^{-1}dx\int_{0}^{2-x}dy\int_{0}^{2-x-y}\frac{4- x^{2}- y^{2}}{2}dz}\)


o ile w powyższych wydaje mi się ze zrobiłem poprawnie to tutaj już nie wiem od czego zacząć aby wyznaczyć te granice
5. \(\displaystyle{ 2z= x^{2}+y^{2}, z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
6. \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=9, x+y=3, x+y=-3,x-y=3;x-y=-3}\)
Tutaj widzać ze pierwsze z równań ro równanie okręgu S(0,0) r=3 a reszta to proste ale co dalej to nie wiem

1. granice dobrze, ale tutaj bedzie \(\displaystyle{ \gamma(x,y,z)=z}\) poniewaz \(\displaystyle{ z}\) jest odlegloscia od plaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy}\)
2. tutaj mam watpliwosci czy w zadaniu chodzi o czesc kuli znajdujaca sie "pod" dodatkowa powierzchnia ograniczajaca (czyli po ujemnej stronie osi \(\displaystyle{ Oy}\)) czy "nad", jesli zalozyles ze "nad" to granice calkowania po \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ z}\) dobrze, popraw granice \(\displaystyle{ x}\)
3. prawie dobrze, tylko ze musisz calkowac po wartosci bezwzglednej z tej funkcji poniewaz ta funkcja przyjmuje ujemne wartosci w obszarze calkowania
4. tutaj jest juz trudniej, musisz wykonac rysunek. Bedziesz musial w dosyc skomplikowany sposob podzielic obszar calkowania na dwie czesci i dobrac w odpowiedni sposob funkcje podcalkowa. Narysuj sobie plaszczyzne \(\displaystyle{ Oxy}\) bez zaznaczenia osi \(\displaystyle{ Oz}\), w tym zadaniu jest to korzystne poniewaz we wszystkich rownaniach zmienna \(\displaystyle{ z}\) wystepuje w prostej postaci lub nie wystepuje w ogole. W wielu brylach ktorych objetosci bedziesz obliczac (wylaczajac bryly nieograniczone ktorych teraz nie rozwazamy) bedzie tak ze rzut tej bryly na dowolna plaszczyzne bedzie obszarem o ograniczonym polu. Taka bryla jest ograniczona przez powierzchnie ktore przecinaja sie ze soba czesto w skomplikowany sposob, i nie jest wazne jak dokladnie wyglada krzywa ktora jest czescia wspolna tych plaszczyzn, wazne jest jakim rownaniem okresla sie rzut tej krzywej na plaszczyzne. Zalezy nam na wyznaczeniu rownan wszystkich rzutow tych krzywych na plaszczyzne poniewaz na tej podstawie bedziesz dobierac funkcje podcalkowe i granice calkowania. W tym przypadku bedzie sie przecinac kilka par powierzchni, m. in. \(\displaystyle{ 2z=4-x^2-y^2}\) oraz \(\displaystyle{ z=2-x-y}\), rzut bedzie tez ograniczony przez plaszczyzny \(\displaystyle{ x=0,\ y=0}\), wyznacz teraz rzut krzywej bedacej czescia wspolna pierwszej pary plaszczyzn i zaznacz na rysunku. Potem bedzie mozna przejsc dalej
5. wyznacz obszar bedacy rzutem tej bryly na plaszczyzne \(\displaystyle{ Oxy}\)
6. obszar jest nieograniczony

Również przerabiam te zadania ale mam problem z 2 przykładem. Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć dlaczego są takie a nie inne granice całkowania?