Prosta l, do której należy punkt A przecina parabolę

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
bliznieta07129
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 436
Rejestracja: 19 lut 2011, o 10:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Prosta l, do której należy punkt A przecina parabolę

Post autor: bliznieta07129 » 29 maja 2011, o 13:34

Prosta l, do której należy punkt A = (2, 5), przecina parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y = x ^{2}}\)w dwóch różnych punktach \(\displaystyle{ B = (x _{1} ,y _{1} )}\) i \(\displaystyle{ C = (x _{2} , y _{2} )}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej l tak, aby wyrażenie \(\displaystyle{ y _{1} +y _{2}}\) przyjmowało najmniejszą wartość.
Ostatnio zmieniony 2 cze 2011, o 17:57 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Prosta l, do której należy punkt A przecina parabolę

Post autor: pyzol » 29 maja 2011, o 14:27

Zajmijmy się na początku prostą.
\(\displaystyle{ l:\;y=ax+b}\)
Do tej prostej należy punkt \(\displaystyle{ (2,5)}\)
\(\displaystyle{ 5=2a+b\\
b=5-2a\\
y=ax+5-2a}\)

Napiszemy teraz równanie, które wyznacza nam współrzędne \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) punktów przecięcia wykresów:
\(\displaystyle{ x^2=ax+5-2a\\
x^2-ax+2a-5=0*}\)

Obliczmy teraz \(\displaystyle{ y_1+y_2}\)
\(\displaystyle{ y_1=ax_1+5-2a\\
y_2=ax_2+5-2a\\
y_1+y_2=a(x_1+x_2)+10-4a}\)

\(\displaystyle{ x_1,x_2}\) są pierwiastkami równania *. Sumę ich wyznaczymy ze wzorów Viete'a.
\(\displaystyle{ x_1+x_2=a\\
y_1+y_2=a^2-4a+10=(a-2)^2+6}\)

Suma będzie najmniejsza dla a=...

ODPOWIEDZ