Matematyka.pl

Kombinatoryka

Wariacja bez powtórzeń [Yavien]

Jest to ciąg k-elementowy, w którym każdej liczbie 1, 2, ..., k odpowiada jeden z n danych przedmiotów. Tych wszystkich rozmieszczeń jest
V(k,n) = n!/(n-k)!

Permutacja [Yavien]

Jest to [/b]jest to ciąg k-elementowy, w którym każdej liczbie 1, 2, ..., k odpowiada jeden z k danych przedmiotów. Czyli taka wariacja, gdzie k = n, Ustawiamy tylko dane nam k elementów w określonym porządku. Permutacji ciągu jest P(k)=k!

Kombinacja [Yavien]

Jest to podzbiór k-elementowy zbioru n-elementowego. Oczywiste jest, że jeśli mamy podzbiór k-elementowy, to po ustawieniu go w ciąg (na jeden z k! sposobów), będziemy mieli jedna z wariacji, prawda? Czyli wszystkie wariacje bez powtórzeń z n elementów po k uzyskamy biorąc po kolei wszystkie kombinacje z n po k i wszystkie po kolei (dla każdej kombinacji) permutacje

Zatem liczba kombinacji
(n PO k)= V(k,n)/P(k) = {znany wzór Newtona} n!/(k!*(n-k!))

Czyli podzbiór --> kombinacja, a ciąg --> wariacja


(wiecej na stronie

Kod: Zaznacz cały

http://eduseek.interklasa.pl/artykuly/artykul/ida/3399/

)

...dzięki temu zaczęłem pojmować kombinatoryke

Permutacje
Jeżeli w zadaniu mamy powiedziane, że wykonujemy operacje na wszystkich elementach, wówczas korzystamy z permutacji.

Przykład 1:
Na ile sposobów możemy ustawić 4 książki na półce?

Korzystamy z permutacji
P(4) = 4!= 1*2*3*4 = 24
Jak widzimy, 4 książki można ustawić na półce na 24 sposobów.

Dlaczego użyliśmy permutacji?
Dlatego, że elementami w naszym zadaniu nie były książki, tylko ich różne ustawienia!!!

Kombinacje
Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i kolejność wybranych elementów nie odgrywa roli, wówczas korzystamy z kombinacji.

Przykład 1:
Na ile różnych sposobów możemy wybrać 3 osoby do kina spośród 6.

W tym zadaniu byłoby trudno pokazać, ile tych trójek jest, dlatego po prostu to policzymy.
Ilość osób, jakimi dysponujemy, to 6, czyli n=6, bedziemy wybierali po 3 osoby,zatem k=3. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy:

6!/3!*(6-3)!=6!/3!*3!=20

Dlaczego użyliśmy kombinacji?
Dlatego, że elementami w naszym zadaniu nie jest 6 osób, tylko elementami są różnie wybrane trójki, które pójdą do kina!!!
*********Tylko w kombinacjach w wybranych elementach kolejność nie odgrywa roli!!!!!!!


Wariacje bez powtórzeń

Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka, tak, że nie będą się one powtarzały,ale z treści zadania wynika, że kolejność wybranych elementów odgrywa rolę, wówczas należy skorzystać z wariacji bez powtórzeń.

Przykład 1:
Mamy do dyspozycji 9 drewnianych klocków, na których są pomalowane cyfry od 1 do 9. Ile możemy ułożyć liczb czterocyfrowych,wybierając kolejno bez zwracania 4 klocki?
Rozwiązanie:
k=4
n=9
9!*(9-4)!=3024

Dlaczego użyliśmy wariacji bez powtórzeń?
Dlatego w tym zadaniu wybraliśmy wariacje bez powtórzeń, ponieważ ułożenie naszych czterech klocków będzie ważne. Każde inne ustawienie tych samych klocków zmienia nam liczbę!


Wariacje z powtórzeniami
Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i może się zdarzyć, że wybrane elementy będą się powtarzały, wówczas należy skorzystać z wariacji z powtórzeniami.

Przykład 1:
Na ile sposobów możemy uzyskać różne wyniki, przy rzucie dwiema różnymi kostkami?
Rozwiązanie:
n=6, k=2

6^2=36

Może się tak zdarzyć, że na obu kostkach wypadnie ta sama liczba oczek, zatem uznajemy, że elementy mogą się powtarzać. W tego typu zadaniach należy wiedzieć, że aby odpowiedź była poprawna zakładamy, że te same układy oczek, ale na różnych kostkach, dają inne wyniki, np. (1,5) czy (5,1). W pierwszej sytuacji 1 wypadła na pierwszej kostce natomiast 5 na drugiej. Następna sytuacja pokazuje, że oczka wypadły odwrotnie

źródło: ... orykas.htm

P.S. Mi bardzo to pomoglo, rozjaśniło