Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A}\) bedzie macierzą \(\displaystyle{ n \times n}\) . Pokaż że \(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{cc} A & A^2\\ A^2 & A^3 \end{array} \right] =0.}\)

Hondo pisze:\(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{cc} A & A^2\\ A^2 & A^3 \end{array} \right]=A*A ^{3}-A ^{2}*A ^{2}}\)

W jaki niby sposób liczba miałaby być równa macierzy \(\displaystyle{ n\times n}\)?

Q.

Tak ogólnie to liczby wkładają się naturalnie w macierze kwadratowe, ale to raczej nie ratuje tego rozwiązania

Zauważmy, że macierz

\(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{cc} A^2 & A^3\\ A^2 & A^3 \end{array} \right]}\)

jest rzędu co najwyżej \(\displaystyle{ n}\), więc ma zerowy wyznacznik. Stąd

\(\displaystyle{ 0 = \det\left[\begin{array}{cc} A^2 & A^3\\ A^2 & A^3 \end{array} \right] = \det(\left[\begin{array}{cc} A & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{cc} A & A^2\\ A^2 & A^3 \end{array} \right]) =}\)

\(\displaystyle{ = \det\left[\begin{array}{cc} A & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] \cdot \det \left[\begin{array}{cc} A & A^2\\ A^2 & A^3 \end{array} \right] = \det A \cdot \det \left[\begin{array}{cc} A & A^2\\ A^2 & A^3 \end{array} \right]}\)

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalna to wynika stąd teza. Z gęstości macierzy odwracalnych w zbiorze macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ \det}\) wynika teza dla wszystkich macierzy.