Granica pewnej sumy trójkąta Pascala
: 26 maja 2011, o 17:15
Rozważmy pewne sumy wyrazów w wierszach trójkąta Pascala. W (n-1)-tym wierszu trójkąta jest n wyrazów. Niech nasze sumy będą sumami \(\displaystyle{ [\frac {n \cdot ln(2)}{ln(3)}]}\) kolejnych wyrazów w kolejnych wierszach, przy czym kwadratowy nawias oznacza zaokrąglenie do liczby całkowitej.
Przykład: wiersz piąty:
1 5 10 10 5 1
Mamy tu 6 wyrazów, zatem \(\displaystyle{ [\frac {6 \cdot ln(2)}{ln(3)}=3,79]=4}\). Tworzymy zatem sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{4} = 1+5+10+10 = 26}\)
Tak samo postępujemy dla kolejnych wierszy trójkąta. Moje pytanie jest o granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} \frac {\sum}{2^k}}\)
k to numer wiersza w trójkącie, \(\displaystyle{ 2^k}\) to suma wszystkich wyrazów w danym wierszu, a suma w liczniku to suma zdefiniowana tak jak powyżej, w której sumujemy odpowiednią ilość kolejnych wyrazów k-tego wiersza. Podejrzewam, że ta granica wynosi 1, ale nie potrafię tego udowdnić.
Przykład: wiersz piąty:
1 5 10 10 5 1
Mamy tu 6 wyrazów, zatem \(\displaystyle{ [\frac {6 \cdot ln(2)}{ln(3)}=3,79]=4}\). Tworzymy zatem sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{4} = 1+5+10+10 = 26}\)
Tak samo postępujemy dla kolejnych wierszy trójkąta. Moje pytanie jest o granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} \frac {\sum}{2^k}}\)
k to numer wiersza w trójkącie, \(\displaystyle{ 2^k}\) to suma wszystkich wyrazów w danym wierszu, a suma w liczniku to suma zdefiniowana tak jak powyżej, w której sumujemy odpowiednią ilość kolejnych wyrazów k-tego wiersza. Podejrzewam, że ta granica wynosi 1, ale nie potrafię tego udowdnić.