Matematyka.pl

Witam ,mam do rozwiązania takie równanie używając metody uzmienniania stałych
\(\displaystyle{ y'' +4y'+5y=2\cos x}\)


robię to tak


\(\displaystyle{ r^{2}+4r+5=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \delta}=2i}\)

\(\displaystyle{ r_{1}= \frac{-4-2i}{2}=-2-i}\)

\(\displaystyle{ r_{1}= \frac{-4+2i}{2}=-2+i}\)

\(\displaystyle{ \alpha =-2}\)

\(\displaystyle{ \beta =1}\)


\(\displaystyle{ y= e^{-2x}(A\cos (x)+B\sin (x))}\)

\(\displaystyle{ y= y_{1} +y _{2}}\)

Nie mam pojęcia czy zapisać jako

\(\displaystyle{ y_{1}(x)=A\cos (x)+B\sin (x)}\)

\(\displaystyle{ y_{2}(x)=A(x)\cos x + B(x)\sin x}\)


i funkcje A(x) i B(x) wyznaczyć z układu:

\(\displaystyle{ A' _{(x)} \cos x+B' _{(x)} \sin x=0}\)
\(\displaystyle{ A' _{(x)} (-\sin x)+B' _{(x)} \cos x=2\cos x}\)




czy



\(\displaystyle{ y_{1}=A\cos (x)+B\sin (x)}\)

\(\displaystyle{ y'_{1}}\)

\(\displaystyle{ y''_{1} ?}\)

Chyba popełniłem mnóstwo błędów proszę o poprawienie mnie i pomoc w rozwiązaniu tego równania tą metodą

\(\displaystyle{ y_{oj}=e^{-2x}(A \cos x +B \sin x )}\) - to jest dobrze, jest to rozwiazanie rownania ogólnego jednorodnego. Mamy rozwiazac szczegolne niejednorodne - Czyli rozwiązanie będzie miało postać:
\(\displaystyle{ y=y_{oj}+y{s}}\).
\(\displaystyle{ y_{s}}\) mozesz wyznaczyc metoda przewidywan.

Dla \(\displaystyle{ q(x)=2 \cos x}\) przewidywane rozwiazanie bedzie postaci \(\displaystyle{ y_{s}=c \cos{x} + d \sin{x}}\).

Trzeba jeszcze wyznaczyc c i d, wtedy mozesz podstawic \(\displaystyle{ y_{s}}\) do rozwiazania.

Tylko że to co ty robisz to jest przewidywanie

Rozwiąż układ równań z macierzą Wrońskiego
Scałkuj funkcje uzmiennionych stałych
Wstaw wyniki do całki ogólnej równania jednorodnego
a otrzymasz całkę szczególną równania niejednorodnego

Sorki, nie zauwazylam ze musi byc metoda uzmienniania stałych.