Matematyka.pl

jak policzyć
\(\displaystyle{ L\left[ \frac{e^{5t}}{t} \right]}\)

Widzę że możemy skorzystać z
\(\displaystyle{ L\left[ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_{s}^{ \infty } F(s) ds}\)
tyle że mam problemy ze zbieżnością całki.

\(\displaystyle{ F(s) = L\left[ e^{5t}\right]= \frac{1}{s-5}}\)
zatem

\(\displaystyle{ L\left[ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_{s}^{ \infty } F(s) ds = \int_{s}^{ \infty } \frac{1}{s-5} ds = \left[ ln|s-5| \right] ^{\infty}_{0}}\)

no i co to jest, bo chyba gdzieś robię błąd?

Zanim wykonasz transformację Laplace'a, musisz sobie odpowiedzieć na pytanie, czy Twoja funkcja f(t) spełnia warunki oryginału.
Poniżej celowo napisałem znaki ||, żeby być w zgodzie z ogólną definicją warunków.

1. Czy dla każdego t na przedziale \(\displaystyle{ [ 0, \infty )}\) spełniony jest warunek

\(\displaystyle{ \left| \frac{e ^{5t} }{t} \right| \le Me ^{Ct}}\)

\(\displaystyle{ C \in \Re, \quad M>0}\)

2. Czy funkcja f(t) na przedziałe \(\displaystyle{ [0, \infty )}\) jest bezwzględnie całkowalna

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \left| \frac{e ^{5t} }{t} \right| \mbox{d}t < \infty}\)

Pozdrawiam