Matematyka.pl

Cześć
Mam proste równanie, ale jakoś nie mogę go przejść . Zamieszczam co zrobiłam:
równanie:\(\displaystyle{ xy'+y=x y^{2}\ln x}\)
rozwiązanie: \(\displaystyle{ xdy +ydx=xy^{2}\ln x dx}\)
\(\displaystyle{ dy+ \frac{y}{x}dx= y^{2}\ln xdx}\)
podstawienie:\(\displaystyle{ z= \frac{y}{x} ; y=zx ; dy=zdx+xdz}\)
\(\displaystyle{ zdx+xdz+zdx=z^{2}x^{2}\ln xdx}\)
\(\displaystyle{ \left( 2z-z^{2}x\ln x \right) dx=-xdz}\)
I myślałam, że ze zmiennych rozdzielonych, ale ja nie umiem ich rozdzielić.
Pomocy. Może to jakoś w ogóle inaczej trzeba rozwiązać?
Z góry bardzo dziękuję za wskazówki.

Wskazówka: wyjściowe równanie to równanie Bernoulliego. Należy więc dokonać innego podstawienia, by sprowadzić równanie do liniowego.

Q.

Spróbowałam zrobić podstawienie \(\displaystyle{ z= \frac{1}{y}}\), czyli niby dla tego przypadku odpowiadające r. Bernoulliego.

Przekształcając podstawienie mam \(\displaystyle{ z'= \frac{-1}{y^{2}}y'}\)
Następnie podstawiłam do równania (przekształciłam je, żeby tak ładnie wyglądało jak wzorcowe równanie bernoulliego : \(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{x} \cdot y=y^{2} \cdot \ln x}\))

\(\displaystyle{ -z'+ \frac{z}{x}=\ln x}\) czyli wychodzi mi kolejne równanie bernoulliego niby (ale stopnia n =0 , czyli dalsze podstawienia nic nie dają...) .
Co robię nie tak?

Ostatnie równanie nie jest równaniem Bernoulliego, tylko równaniem liniowy. Można je rozwiązać na przykład metodą uzmienniania stałej.

Q.