Trudność całek

[deges]

To będzie trochę temat inny niż wszystkie Jak sądzicie, czy całki oznaczone, nieoznaczone, pojedyncze i wielokrotne są w miarę trudne? Jakie operacje matematyczne są od nich trudniejsze (nie licząc innych całek np. krzywoliniowych)? Czy nauczenie się ich w liceum lub w gimnazjum jest czymś niezwykłym? Bo podobno studenci mają z nimi spore problemy, ale z tego, co widzę na forum, to nie jest tak źle, no ale nigdy nie wiadomo.

[Mariusz M]

Zanim zabierzesz się za całki poczytaj trochę o
ciągach
szeregach
granicach
pochodnych

i dopiero bierz się za całki

Co do literatury to przejrzyj takie pozycje jak

G.M Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy
Franciszek Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych

Jeżeli te pozycje będą zbyt trudne do czytania to możesz poczytać



Leja i Fichtenholz są polecane studentom

Jeżeli chodzi o tę drugą pozycję to sam Banach zaznaczył że to jest tylko wstęp do
rachunku różniczkowego i całkowego i podstawa do dalszej nauki
natomiast Leja i Fichtenholz to podręczniki typowo akademickie

Całki się nieco trudniej liczy od pochodnych ponieważ wzorki na całkowanie
wymagają pomyślenia (przynajmniej w pierwszym etapie nauki)
co by tu podstawić jak dobrać funkcje do całkowania przez części ,jak uprościć funkcje podcałkową
Zdarza się że wszystkie te metody zawiodą i zostaje rozwinąć funkcję podcałkową w szereg
Przy obliczaniu pochodnych wstawiasz ślepo do wzorków (suma/różnica iloczyn/iloraz złożenie)
lub ewentualnie badasz czy funkcja jest różniczkowalna

Całka sumy to suma całek
Zamiast całki iloczynu jest całkowanie przez części
Zamiast całki złożenia jest całkowanie przez podstawienie
Przydaje się jeszcze upraszczanie funkcji podcałkowej

Swoją drogą to podobno wam wycięli całą analizę z programu
Jak ja chodziłem to podstawy analizy jeszcze były w liceum
(ciągi , granice,pochodne)
a w technikum
(ciągi , granice, szeregi , pochodne , całki)

Po opanowaniu pochodnych z całkami nie powinieneś mieć większych problemów
Tak jak już pisałem na poziomie liceum to już 11 lat temu wykraczało to poza program

Jeżeli już opanowałeś materiał z analizy do pochodnych włącznie
to spróbuj wyprowadzić sobie wzór na całkowanie przez części korzystając
ze wzoru na pochodną iloczynu i wzór na całkowanie przez zamianę zmiennych
(podstawienie) korzystając ze wzoru na pochodną złożenia
(oczywiście na początku musisz poczynić pewne założenia)

[deges]

Tzn. całki już jako tako umiem, nauczyłem się, bo ciekawiło mnie parę rzeczy z nimi związanymi, a poza tym chciałem się z tym zmierzyć. Pochodne to umiem, bo są proste. Ciągów, granic i szeregów nie umiem prawie w ogóle, wiem, że to trochę złe podejście, ale po prostu nie miałem na to ochoty. Na pewno kiedyś do tego wrócę. Chciałbym się tylko jeszcze raz zapytać, czy jest coś jeszcze trudniejszego od całek i równań różniczkowych, czy jest to powiedzmy etap końcowy podstaw matematyki. I chciałbym wiedzieć, czy całki są ogólnie trudne czy nie, bo z jakiegoś powodu nie ma ich w podstawie programowej liceum. Właśnie mamy mieć w 3 gimnazjum dod. lekcje z nauczycielem od fizyki i właśnie ma nas nauczyć całek (tzn. ja już w miarę umiem).

[chris_]

Coś trudniejszego od całek rzeczywistych? Całki zespolone

[smigol]

Zaraz, zaraz. Umiesz pochodne, czy znasz wzory na pochodne? Umiesz całkować, czy znasz wzory na całki?

[xanowron]

Zależy też co rozumiesz przez "umiem całki" Całka to bardzo szerokie pojęcie, jest wiele jej definicji. Jeśli umiesz liczyć całki czy pochodne takie z Krysickiego to wiedz, że są podstawy. Podejrzewam, że umiesz jedynie bardzo podstawowe rzeczy, taka nauka moim zdaniem nie ma sensu. Nie bez powodu wszystkie podręczniki są pisane z pewnym porządkiem (ciągi, granice ciągów, szeregi, granice funkcji, ciągłość, pochodne, szeregi i ciągi funkcyjne, całki itp). Uczenie się wybiórczo rzeczy, bo ktoś powiedział, że są trudne jest bezcelowe, chyba, że chcesz tym szpanować, no to inna sprawa. Dobrze jest rozumieć to czego się uczysz, ja nie wyobrażam sobie rozumienia całek bez odpowiednich podstaw (może nie jest do tego potrzebne 8 miesięcy wykładów z analizy, ale bez żadnych podstaw to można nauczyć się jedynie pewnych algorytmów które zapewnią możność policzenia 70% standardowo występujących w przyrodzie całek oznaczonych/nieoznaczonych i nic więcej. Zero zrozumienia moim zdaniem)

[deges]

Wiesz, ja to rozumiem, że tak naprawdę niewiele umiem, tylko nauczyłem się tego, bo miałem ochotę, a poza tym mam taką zasadę, że jak czegoś nie muszę robić, to się nie przymuszam, nawet jeśli to ma mi później coś ułatwić. Teraz zamierzam nadrobić zaległości, bo nauczyłem się trochę rozwiązywania całek, więc przeczytam porządnie jakiś podręcznik do analizy.

[zaudi]

Każdy miał całkowanie w gimnazjum. Tylko nie każdy wiedział, że to tak się nazywa a chodzi oczywiście o obliczenie pola pod wykresem. W gimnazjum był wykres prędkości od czasu i trzeba było policzyć drogę . W sumie na konkursach z fizyki w liceum tzn myślę o OF to przydadzą ci sie podstaowowe wiadomości o całkowaniu, bo nikt Ci nie zmusza do udowodnienia wzorów na całke bo takie rzeczy robi się na studiach wystarczy, że znasz aparat matematyczny który można zastosować Konkursy są fajne o ile nie podchodzi się do nich z myślą, "że jak mi sie nie uda to nie ma sensu marnować czasu i do niczego się nie nadaję ". Nie wiem czy miałeś funkcje trygonometryczne, ale one bardziej Ci się przydadzą na Twoim etapie kariery.

[deges]

Trygonometrię też będę miał na tych lekcjach z nauczycielem, ale trochę już umiem, takie podstawowe przekształcenia, zależności. Nie zamierzam robić tego wszystkiego tak dokładnie, bo od tego będą te dodatkowe lekcje, po co mam się nudzić.

[smigol]

Jak dla mnie to masz mega dziwne podejście do matematyki.

[chris_]

Ale dobrze, że chłopak w ogóle takie zainteresowania ma w tym wieku. Będą z niego ludzie

[smigol]

Ale dobrze, że chłopak w ogóle takie zainteresowania ma w tym wieku. Będą z niego ludzie

Ludzie pewnie z niego będą, czemu miałoby być inaczej? Predestynacja (wg mnie) nie istnieje. Chodzi mi o to, że ja radziłbym mu zmienić podejście do matematyki i w tym wieku niech uczy się myśleć.

[deges]

Tzn. jakie podejście powinienem mieć? Robić po trochu, ale dokładnie? Tyle, że od tego mam szkołę, żeby się tego dokładnie nauczyć. Nie po to chodzę do szkoły, aby powtarzać ten sam materiał.W domu lubię sobie coś tam poobliczać, przy okazji trochę zwiększyć zdolności matematyczne i tyle. Po co mi cały ten materiał? Skoro chwilowo nie widzę zastosowania, to nie widzę również potrzeby nauki. Tak to się można szybko zniechęcić. Być może to złe podejście, ale spróbuj mnie przekonać, jestem otwarty na wszelkie propozycje.

[smigol]

Mnie nie chodzi o 'materiał', bo z tego co się zorientowałem (być może błędnie) to przerabiasz w sposób (wydaje mi się, że jest to na zasadzie: patrzcie jaki jestem fajny bo w wieku 14 lat umiem całki - może babci i kolegom z podwórka zaimponujesz) bezsensowny i nieprzynoszący żadnych korzyści, tracisz tylko czas. Jak chcesz się rozwijać, to sobie przerób na początek to:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/mdm/

. Jak to zrobisz (przede wszystkim zrozumiesz) to z matematyką licealną nie będziesz miał najmniejszego problemu. A i główkowania matematycznego się nauczysz. Nie na zasadzie: aha takie a takie zadanie, no to musimy skorzystać z tego i tego. Wiadomo, że pewnych schematów trzeba się nauczyć. Ale robić w nieskończoność tzw. słupki to głupota wg mnie.

[pipol]

patrzcie jaki jestem fajny bo w wieku 14 lat umiem całki - może babci i kolegom z podwórka zaimponujesz) bezsensowny i nieprzynoszący żadnych korzyści, tracisz tylko czas.

Nie wiem czy uczenie się Całki Riemanna jest takie bezsensowne, wszak to jak najbardziej praktyczne podejscie, które pozwala wyznaczać pola różnych "skomplikowanych" figur, liczyć długość krzywych, obliczać drogę w ruchu etc. Może właśnie warto w młodym wieku poznać pewne ogólne konstrukcje matematyczne, bo młody umysł to chłonny umysł i otwarty umysł. Ja myślę, że warto chociażby, żeby lepiej zrozumieć istotę matematyki a pewne umiejętności techniczne typu "wyznacz \(\displaystyle{ 110}\) ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ 3425654435544^{786554533454}}\) " można nabrać z czasem. Zresztą jak się poczyta biografię znanych matematyków to wielu z nich już w bardzo młodym wieku miało kontakt z matematyką wyższą np. S. Ulam opanował podstawy analizy matematycznej już w wieku 12-13 lat.