Matematyka.pl

Siema. Trzymajcie zadanka, miłej rozkminy:
1. W kwadracie ABCD punkt E jest środkiem boku CD. Przekątna AC tego kwadratu przecina odcinek BE w punkcie F. Wiedząc, że \(\displaystyle{ |<ECF| = x}\), \(\displaystyle{ |<CEF|=y}\), \(\displaystyle{ |<EFC|=z}\), wyznacz \(\displaystyle{ tg x, tg y, tg z}\).
2.W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości poprowadzonej do podstawy jest równa d. Kąt przy podstawie tego trójkąta ma miarę x. Oblicz pole tego trójkata.
3.W wycinek koła o promieniu o długości R i kącie środkowym o mierze \(\displaystyle{ 2x}\) (gdzie \(\displaystyle{ x < 90}\)) wpisano okrag. Wyznacz długość promienia tego okregu.
4.Dwa okregi styczne zewnetrznie maja wspolne styczne przecinajace sie pod katem o mierze 2x. Wyznacz stosunek dlugosci promieni tych okregow.
5.Wyznacz stosunek dlugosci promienia okregu opisanego na trojkacie rownoramiennym do dlugosci promienia okregu wpisnanego w ten trojkat majac dana miare 2x kata miedzy ramionami tego trojkata.
6.W trapez rownoramienny, ktorego kat ostry ma miare x wpisany jest okrag o promieniu r. Wyznacz dlugosc promienia okregu opisanego na tym trojkacie.
7.W trapezie rownoramiennym polaczono odcinkami srodki sasiednich bokow. Oblicz pole wpostale czoworokata majac dane dlugosci a i b (\(\displaystyle{ a>b}\)) podstaw tego trapezu oraz miare x kata ostrego.
8.Przekatna trapezu rownoramiennego dizeli kat rozwarty tego trapezu na dwa katy o miarach x i 2x(x to miara kata miedzy przkeatna i podstawa trapezu). Wyznacz stosunek pol trojkatow, na ktore ta przekatna podzielila ten trapez.
10.Dany jest trojkat ostrokatny ABC, w ktorym \(\displaystyle{ |BC| = a}\), oraz \(\displaystyle{ |<CAB|=x}\). Wyznacz odleglosc \(\displaystyle{ |DE|}\) spodkow wysokosci BD i CE tego trojkata.
11.Dlugosci przekatnych rombu wynosza \(\displaystyle{ 2p}\) i \(\displaystyle{ 2q}\) (gdzie \(\displaystyle{ p>q}\)). Miara kata ostrego tego rombu wynosi x. Wyznacz wartosc sinusa i cosinusa tego kata.
12. Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrag jest srednia okregu. Miara kata ostrego tego trapezu wynosi x. Oblicz cosinus tego kata wiedzac, ze stosunek obwodu trapezu do sumy dlugosci jego podstaw jest rowny \(\displaystyle{ 3:2}\).

Zad 11

zad2.

Zad.1.

3. Nietrudno zauważyć że \(\displaystyle{ sinx = \frac{r}{R-r}}\) skąd niemal natychmiast \(\displaystyle{ r= \frac{Rsinx}{sinx +1}}\)

Zad.5.

Zad 6

Następna seria:

I ) W trapezie równoramiennym przekątne są prostopadłe, a długośc wysokości wynosi h. Oblicz pole tego trapezu.
II ) W trapezie równoramiennym podstawy mają długośc a i b (a>b), zaś ramię ma długośc c. Oblicz dlugośc promienia okręgu opisanego na tym trapezie.
III ) Na trapezie można opisac oraz mozna w niego wpisac okrag. Podstawy tego trapezu maja dlugosci a i b (a>b). Oblicz pole tego trapezu.
IV) Podstawy trapezu maja dlugosci a i b(a>b), zas przekatne maja dlugosci p i q. Oblicz pole tego trapezu.
V) W czworokacie ABCD odcinki laczace srodki przeciwleglych bokow sa rownej dlugosci oraz
|AC|=p i |BD|=q. Oblicz pole tego czworokąta.
VI) Na bokach AB i AC trojkata ABC obrano odpowiednio takie punkty K i M, ze \(\displaystyle{ |AK|=p|AB|, p \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ |CM|=q|AC|, q \in (0,1)}\) Proste BM i CK przecinaja sie w punkcie P, zas proste AP i BC przecinaja sie w punkcie L. Wyznacz stosunek |BL| : |BC|
VII)W czworokacie wypuklym ABCD: \(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC| = \alpha , | \sphericalangle BCA|= \beta , | \sphericalangle BDC|=2 \alpha , | \sphericalangle BDA|=2 \beta, ( \alpha + \beta < 90 ^{ \cdot }.}\) Wyznacz miare kata miedzy przekatnymi tego czworokata.
VIII) Oblicz dlugosc promienia okregu wpisanego w wycinek kolowy o promienu R i kacie srodkowym o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\)
IX)W okrag o promieniu o dlugosci R "wpisano" n przystajacych okregow, z ktorych kazde dwa sasiednie sa styczne zewnetrznie oraz kazdy z nich jest styczny wewnetrznie do danego okregu. Wyznacz dlugosci ich promieni.
X) W romb o dlugosci boku i kacie ostrym o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) wpisano okrag. Oblicz pole prostokata, ktorego wierzcholkami sa punkty stycznosci okregu z bokami rombu.
XI)Dane sa dwa okregi o promieniach o dlugosci R i r styczne zewnetrznie i styczne do pewnej prostej. Oblicz pole figury ograniczonej tymi okregami oraz ta prosta.
XII)W trapezie ABCD boki nierownolegle AD i BC sa prostopadle oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle DAC| = | \sphericalangle ABC| = \alpha , ( \alpha < 45) i |AD|=a}\) Oblicz pole tego trapezu.

ad 1