Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ T:X\to X}\) będzie operatorem zwartym (\(\displaystyle{ X}\) - przestrzeń Banacha nieskończonego wymiaru). Sprawdzić, czy istnieje ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\) taki, że \(\displaystyle{ \|x_{n}\|\rightarrow \infty}\), ale \(\displaystyle{ Tx_{n}\rightarrow 0}\).

Można założyć, że \(\displaystyle{ T}\) jest iniekcją. Rozważmy normę \(\displaystyle{ p}\) na \(\displaystyle{ X}\) określoną wzorem \(\displaystyle{ p(x)=||Tx||.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ T}\) jest ciągły więc \(\displaystyle{ p(x) \le M||x||.}\) Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ p}\) jest równoważna z normą wyjsciową. Istnieje wówczas stała \(\displaystyle{ m>0}\) taka, że \(\displaystyle{ p(x) \ge m||x||.}\) Pokażemy, że wówczas zbiór \(\displaystyle{ T(X)}\) jest domknięty w przestrzeni \(\displaystyle{ X.}\) Istotnie, niech \(\displaystyle{ T(x_n ) \rightarrow z}\) wówczas \(\displaystyle{ T(x_n )}\) jest ciągie Cauchy'ego więc z nierówności \(\displaystyle{ ||Tx_n -Tx_m || \ge m||x_n -x_m||}\) dostajemy, że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest ciągiem fundamentalnym a ponieważ \(\displaystyle{ X}\) zupełna więc \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0\in X}\) a zatem wobec ciągłości \(\displaystyle{ T}\) , mamy \(\displaystyle{ Tx_n \rightarrow Tx_0}\) czyli \(\displaystyle{ z=Tx_0\in T(X).}\) Niech \(\displaystyle{ B(0,1)=\{x\in X |x|| \le 1\}.}\) Mamy \(\displaystyle{ T(X)= \bigcup_{n=1}^{\infty} n\cdot \overline{T(B(0,1))}}\) co wobec twierdzenia Baire daje, że \(\displaystyle{ T(X)}\) jest skończonego wymiaru. Zatem sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ T}\) jest iniekcją.
A więc norma \(\displaystyle{ p}\) jest istotnie słabsza od wyjsciowej. Istnieje zatem ciąg \(\displaystyle{ v_n}\) taki, że \(\displaystyle{ ||v_n||=1}\) i \(\displaystyle{ p(v_n ) \rightarrow 0.}\) Weźmy \(\displaystyle{ x_n =\frac{v_n}{\sqrt{||Tv_n||}}.}\) Wówczas \(\displaystyle{ ||x_n || \rightarrow \infty}\) i \(\displaystyle{ ||Tx_n || \rightarrow 0.}\)

No dobrze, a jak jest, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest dowolną przestrzenią unormowaną nieskończonego wymiaru?

Operator ograniczony na przestrzeni unormowanej przedłuża się z zachowaniem normy na jej uzupełnienie. Jak już się wybierze odpowiedni ciąg w tym uzupełnieniu to można wybrać ciąg elementów z wyjściowej przestrzeni, taki że jego kolejne elementy sa coraz bliższe do odpowiednich wyrazów otrzymanego ciągu.

Ok, można też zauważyć, że nierówność \(\displaystyle{ \|Tx\|\ge c\|x\|}\) implikuje otwartość na obraz.