Pierwiastek wielomianu i parametry
: 16 maja 2011, o 23:11
Polecenie: Dla jakich rzeczywistych wartości a i b (rozumiem, że wszystkie pary trzeba wyznaczyć) liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ 3x^{3}+ax^{2}+bx+12=0}\)
Zaczynam w ten sposób:
Niech \(\displaystyle{ W(x) = 3x^{3}+ax^{2}+bx+12}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ W(1+\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow 3(1+\sqrt{3})^{3}+a(1+\sqrt{3})^{2}+b(1+\sqrt{3})+12=0 \Leftrightarrow 3(1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3})+a(1+2\sqrt{3}+3)+b(1+\sqrt{3})+12=0 \Leftrightarrow 30+18\sqrt{3}+12+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow 42+18\sqrt{3}+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})=0}\)
Jedną parę jestem w stanie znaleźć rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4a+b=-42\\2\sqrt{3}a+b\sqrt{3}=-18\sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-12\\b=6 \end{array}}\)
Jak znaleźć wszystkie pozostałe pary bądź wykazać, że ta jest jedynym rozwiązaniem zadania?
PS: Gdyby b wyrazić od a, to:
\(\displaystyle{ b=-6-12\sqrt{3}-a-\sqrt{3}a}\)
Zaczynam w ten sposób:
Niech \(\displaystyle{ W(x) = 3x^{3}+ax^{2}+bx+12}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ W(1+\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow 3(1+\sqrt{3})^{3}+a(1+\sqrt{3})^{2}+b(1+\sqrt{3})+12=0 \Leftrightarrow 3(1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3})+a(1+2\sqrt{3}+3)+b(1+\sqrt{3})+12=0 \Leftrightarrow 30+18\sqrt{3}+12+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow 42+18\sqrt{3}+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})=0}\)
Jedną parę jestem w stanie znaleźć rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4a+b=-42\\2\sqrt{3}a+b\sqrt{3}=-18\sqrt{3} \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-12\\b=6 \end{array}}\)
Jak znaleźć wszystkie pozostałe pary bądź wykazać, że ta jest jedynym rozwiązaniem zadania?
PS: Gdyby b wyrazić od a, to:
\(\displaystyle{ b=-6-12\sqrt{3}-a-\sqrt{3}a}\)