Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Wszystko, co chcielibyście wiedzieć o studiowaniu: co wybrać? jakie są warunki przyjęć? życie studenckie? Zajrzyjcie tutaj!
BraveMind
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 9 maja 2011, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: BraveMind » 16 maja 2011, o 21:42

Trzy zadania z części "matematyka": 4. Niech \(f:R \rightarrow \left( 0,+ \infty \right)\) będzie funkcją ciągłą taką, że \(f(x+1)=f(x)\). Pokazać, że dla dowolnej liczby \(\alpha \in \left( 0,1\right)\) zachodzi : \(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx \ge 1\) 5. Rozwiąż równanie \(x^2=2 \cdot y^2+1\) w liczbach naturalnych 6. Niech \(f:R \rightarrow R\) będzie funkcją ciągłą taką, że \(f(2x^2-1)=2xf(x)\) dla każdego \(x \in R\). Udowodnić, że \(f(x)=0\) dla \(-1 \le x \le 1\).

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: smigol » 16 maja 2011, o 22:00

5. Równanie Pella.

darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: darek20 » 16 maja 2011, o 22:29

6. Putnam 2000

TomciO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: TomciO » 16 maja 2011, o 22:47

4. Lemat: jeśli liczby \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) są dodatnie, to \(\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq 1\). Wynika to natychmiast z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Rozwiązanie zadania podzielimy na 3 kroki. 1) \(\alpha = \frac{1}{n}\) dla pewnego \(n \geq 2\) naturalnego. Zauważmy, że \(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx = \int_{0}^{\frac{1}{n}} \left ( \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} + \frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x+\frac{2}{n})} + \ldots + \frac{f(x+\frac{n-1}{n})}{f(x+1)} \right ) dx =\) \(\int_{0}^{\frac{1}{n}} \left ( \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} + \frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x+\frac{2}{n})} + \ldots + \frac{f(x+\frac{n-1}{n})}{f(x)} \right ) dx \geq \int_{0}^{\frac{1}{n}} n dx = 1.\) 2)\(\alpha = \frac{m}{n}\). Ten przypadek łatwo sprowadzamy do poprzedniego bo \(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx\) i teraz podstawiamy \(y = \frac{x}{m}\) oraz \(g(x) = f(mx)\). Po prostych przekształceniach okazuje się, że jest to krok 1) dla funkcji g. 3)\(\alpha\) dowolne. Dobieramy ciąg liczb wymiernych zbieżny do \(\alpha\) z ciągłości funkcji \(f\) odpowiednie całki zbiegają do \(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx\) (choćby dlatego, że funkcja \(f\) jest ograniczona na przedziale \([0, 1]\)), ponieważ a ponieważ te całki są większe lub równe \(1\), to również \(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x+\alpha)}dx \geq 1\).

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.2)

Post autor: Elvis » 15 kwie 2016, o 10:45

4. (trochę inaczej zapisane)

Jak pokazał TomciO, chodzi wyłącznie o nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Dla funkcji ciągłej dodatniej \(g \colon [0,1] \to \mathbb{R}\) mamy z nierówności Jensena
\(\ln \left( \int_0^1 g \right) \geqslant \int_0^1 \ln (g),\)
czyli zachodzi nierówność między średnimi
\(\int_0^1 g \geqslant \exp \left( \int_0^1 \ln (g) \right).\)
Jeśli zastosujemy ją dla \(g(x) = \frac{f(x)}{f(x + \alpha)}\), to na mocy okresowości \(\int_0^1 \ln (g) = 0\) i mamy tezę.

ODPOWIEDZ