Matematyka.pl

Witam , mam oto takie zadanie

\(\displaystyle{ f_{n+1} -(n+1) * f_{n} =1}\)

Prosiłbym o wskazówki jak zabrać się do tego typu zadań.

Podzielmy stronami przez \(\displaystyle{ (n+1)!}\). Dostaniemy wtedy

\(\displaystyle{ \frac{f_{n+1}}{(n+1)!} - \frac{f_{n}}{n!} =\frac{1}{(n+1)!}}\)
podstawmy
\(\displaystyle{ g_n=\frac{f_{n}}{n!}}\)
stąd
\(\displaystyle{ g_{n+1}=g_{n}+\frac{1}{(n+1)!}}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ g_{n+1}= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(i+1)!}+g_0}\)
Wracamy do podstawienia
\(\displaystyle{ f_{n+1}=(n+1)!\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(i+1)!}+g_0\cdot (n+1)!}\)
a \(\displaystyle{ g_0=f_0}\)
Przedstawiona metoda to metoda czynnika sumacyjnego.

Dzięki wielkie! Zastanawia mnie tylko pierwsza linijka. Może trochę głupio zabrzmi to pytanie ale skąd wiedziałeś że trzeba podzielić przez (n+1)!. Rozumiem , że trzeba uzyskać takie podstawienie za \(\displaystyle{ g_{n}}\) aby po podstawieniu za \(\displaystyle{ g_{n+1}}\) było to samo co przy \(\displaystyle{ f_{n+1}}\). Jest na to jakaś metoda?

Jeśli mamy rekurencję typu

\(\displaystyle{ a_n\cdot f_{n+1}=b_n\cdot f_{n}+c_n}\)
to po pomnożeniu stronami przez
\(\displaystyle{ \frac{a_{n-1}\cdot a_{n-1}\cdot ...\cdot a_{1} }{b_{n}\cdot b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{1} }}\)
Dostaniemy
\(\displaystyle{ \frac{a_n\cdot a_{n-1}\cdot ...\cdot a_1 }{b_{n}\cdot b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{1} }f_{n+1}=\frac{a_{n-1}\cdot ...\cdot a_1 }{ b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{1} }f_{n}+c_{n}\cdot \frac{a_{n-1}\cdot a_{n-1}\cdot ...\cdot a_{1} }{b_{n}\cdot b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{1} }}\)
i robiąc podstawienie
\(\displaystyle{ g_n=\frac{a_{n-1}\cdot ...\cdot a_1 }{ b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{1} }f_{n}}\)
Dostajemy taką ładną sumką z \(\displaystyle{ c_n}\)

W twoim przykładzie
\(\displaystyle{ a_n=1\\
b_n=(n+1)\\
c_n=1}\)

Dzięki wielkie!-- 14 maja 2011, o 15:10 --Załóżmy że mam taką rekurencję
f0=0;
\(\displaystyle{ n*f_{n}= (n+2)*f_{n-1} +(n+2) \\}\)
mnożę przez
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)(n+2)}\\
\frac{1}{(n+1)(n+2)}f_{n}= \frac{1}{n(n+1)}f_{n-1} + \frac{1}{n(n+1)}
\\
g_{n}= \frac{1}{(n+1)(n+2)}f_{n}

\\
g_{n}=g_{n-1}+ \frac{1}{n(n+1)}}\)
i teraz jak mam zapisać tą sumę ?

\(\displaystyle{ g_{n}=g_{n-1}+ \frac{1}{n(n+1)}\\
g_{n}=\underbrace{g_{n-2}+\frac{1}{(n-1)n}}_{g_{n-1}}+\frac{1}{n(n+1)}\\
...\\
g_{n}=g_0+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}}\)

edit

chociaż zaraz, coś źle wymnożyłeś chyba-- 14 maja 2011, 16:22 --\(\displaystyle{ n\cdot f_{n}= (n+2)\cdot f _{n-1} +(n+2)}\)

mamy
\(\displaystyle{ a_n=n\\
b_n=n+2\\
c_n=n+2}\)
Czyli musimy pomnożyć przez
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)!}{(n+2)!}}\)
i dostaniemy
\(\displaystyle{ f_{n}\frac{n!}{(n+2)!}=f_{n-1}\frac{(n-1)!}{(n+1)!}+\frac{(n-1)!}{(n+2)!}\cdot (n+2)}\)

i jeszcze te silnie się nam poskracają trochę

Witam, mam pytanie czy sposób w jaki rozwiązuje powyższy przykład jest prawidłowy ? z góry dzięki za odpowiedź

\(\displaystyle{ nf_{n}=(n+2)f_{n-1}+(n+2)

f_{0}=0}\)

więc

\(\displaystyle{ a_{n}=n

b_{n}=n+2

c_{n}=n+2



s_{n}=s_{n-1} \frac{a_{n-1}}{b_{n}}}\)

teraz dzielę obustronnie początkowy wzór przez \(\displaystyle{ s_{n}}\)

\(\displaystyle{ s_{n}a_{n}f_{n}= s_{n-1}a_{n-1}f_{n-1}+s_{n}c_{n}}\)

następnie podstawiam pod
\(\displaystyle{ u_{n}=s_{n}a_{n}f_{n}}\)

i za pomocą \(\displaystyle{ u_{n}}\)zapisuje wzór początkowy

\(\displaystyle{ u_{n}=u_{n-1}+s_{n}c_{n}}\)

Taka postać mówi nam, że wyraz o numerze n powstaje z wyrazu o numerze n-1 przez dodanie do
niego elementu \(\displaystyle{ s_{n}c_{n}}\). Oznacza to zatem, że \(\displaystyle{ u_{n}}\) można zapisać jako sumę

\(\displaystyle{ u_{n}=u_{0}+ \sum_{k=1}^{n} s_{k}c_{k}}\)

podstawiając do powyższego wzoru otrzymujemy:

\(\displaystyle{ s_{n}a_{n}f_{n}=s_{0}a_{0}f_{0}+ \sum_{k=1}^{n} s_{k}c_{k}}\)

teraz wyliczam \(\displaystyle{ f_{n}}\)

\(\displaystyle{ f_{n}= \frac{1}{s_{n}a_{n}} ( \sum_{k=1}^{n} s_{k}c_{k})}\)

i według moich notatek powinienem teraz wyliczyć \(\displaystyle{ s_{n}}\) tylko w jaki sposób ? ogólnie czy ten sposób jest poprawny ?

Dobrze. Masz praktycznie to co w moim poście, trochę dokładniej opisane.

Skoro
\(\displaystyle{ s_{n}=s_{n-1} \frac{a_{n-1}}{b_{n}}}\)
to możemy to rozwinąć sobie
\(\displaystyle{ s_{n}=s_{n-2}\cdot \frac{a_{n-2}}{b_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{b_{n}}}\)
i tak dalej i dochodzimy do
\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{a_{1}}{b_{2}}\cdot \frac{a_{2}}{b_{3}}\cdot ...\cdot \frac{a_{n-1}}{b_{n}}}\)

Czyli \(\displaystyle{ s_{n}=\frac{a_n\cdot a_{n-1}\cdot ...\cdot a_1 }{b_{n}\cdot b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{2} }}\)
jedyna różnica to że u mnie jest jeszcze \(\displaystyle{ b_{1}}\) ale to praktycznie nic nie zmienia bo to jakaś stała. Wynika to z przyjęcia, że
\(\displaystyle{ s_{n}=s_{n-1} \frac{a_{n-1}}{b_{n}}}\)
a to wymusza taką samą ilość wyrazów w liczniku i w mianowniku (chyba że przyjąć \(\displaystyle{ s_1=b_1}\) zamiast \(\displaystyle{ s_1=1}\)).