Matematyka.pl

Pokazać, że każdy normalny odwracalny operator \(\displaystyle{ T\in \mathcal{B}(H)}\) jest eksponentą pewnego normalnego operatora \(\displaystyle{ S\in \mathcal{B}(H)}\). Czy \(\displaystyle{ S}\) musi należeć do algebry von Neumanna generowanej przez \(\displaystyle{ T}\)? Jeśli nie, to czy w ogóle istnieje \(\displaystyle{ S}\) o tej własności?

Jeżeli ograniczymy się do operatorów samospęrzonych to odpowiedz jest negatywna. Wtedy \(\displaystyle{ T,}\) który nie jest dodatnio określony równał by się \(\displaystyle{ e^S,}\) który jest dodatnio określony. Nie wiem czy tak będzie dla normalnych.

Akurat ta część zadania nie jest pytaniem, więc odpowiedź jest pozytywna w przypadku operatorów normalnych.

Każdy normalny odwracalny operator \(\displaystyle{ T \in \mathcal{B}(H)}\) jest eksponentą operatora \(\displaystyle{ \log T}\) (\(\displaystyle{ \log \in L_{\infty}(\sigma(T))}\), bo \(\displaystyle{ \sigma(T)}\) jest oddzielone od zera). \(\displaystyle{ \log T}\) jest normalny bo jest przemienny z \(\displaystyle{ (\log T)^*=\overline{\log} T}\) i nalezy do algebry von Neumanna generowanej przez \(\displaystyle{ T}\).

Ok, to teraz to samo pytanie bez założenia odwracalności operatora \(\displaystyle{ T}\) (oczywiście zakładamy, że zero nie jest elementem spektrum).

Przeczytaj sobie uważnie co napisałeś. Być może potrzebujesz przypomnieć sobie definicję spektrum.

Chyba (a nawet na pewno) napisałem co innego niż miałem na myśli, ale nie bardzo wiem co, więc spuśćmy na to zasłonę milczenia.
Ale ma sens następujące pytanie: czy każdy operator odwracalny jest eksponentą?
Oczywiście jest jasne, że grupa operatorów odwracalnych jest generowana przez eksponenty, więc pytanie jest w zasadzie o to, czy iloczyn eksponent jest eksponentą.

Powyższe pytanie nieaktualne (przynajmniej dla mnie), bo znalazłem fajny kontrprzykład.