Matematyka.pl

Pokaż że każda liczba całkowita dodatnia większa od 2 może być zapisana jako suma dwóch bezkwadratowych liczba całkowitych dodatnich.

Burii,
A \(\displaystyle{ 1}\) ? Bezkwadratowe to chyba takie, które nie są kwadratami?
Przy przypadku \(\displaystyle{ 1}\) nawet nie obchodzi mnie definicja liczby bezkwadratowej, bo 1 nie może być sumą dwóch dodatnich całkowitych.

Najprościej modulo 8
Mianowicie: każda liczba całkowita dodatnia przystaje 0 lub 1 lub 2... lub 7 modulo 8
Wiemy, że liczba jest kwadratem liczby całkowitej gdy przystaje 0,1 lub 4 modulo 8. Zatem, gdy liczbą, którą chcemy zapisac jako sumę jest liczba podzielna przez 8, to bierzemy a+b, gdzie \(\displaystyle{ a \equiv 5 \ (mod 8)}\) i \(\displaystyle{ b \equiv 3 \ (mod 8)}\). To po zsumowaniu daje \(\displaystyle{ a+b \equiv 0 \ (mod 8)}\). Dla liczby, która ma dawac resztę 1 bierzemy liczby a i b przystające odpowiednio 6 i 3. Dla dającej reszte 2 liczby 7 i 3. Dla 3 liczby 5 i 6, dla 4 liczby 7 i 5, dla 5 liczby 2 i 3, dla 6 liczby 3 i 3, dla 7 liczby 5 i 2. Dosyc duży skrót myślowy - chodzi o to, że w zdaniu dla 3 liczby 5 i 6 mamy: dla liczby, która ma byc żądaną sumą 3 jest jej resztą modulo 8, a liczby 5 i 6 to liczby dające reszty 5 i 6 modulo 8.
Jest to jasne?
Pzdr
Edit: Burii, rzeczywiście trzeba by tę tezę troche przeformułowac - najlepiej dodac, że chodzi o liczby większe niż 2. Wtedy kilka przypadków trzeba sprawdzic ręcznie, ale to generalnie żaden problem.

Wybaczcie

Hej, hej!
Liczba bezkwadratowa to nie taka, co nie jest kwadratem, tylko taka co nie dzieli się przez żaden kwadrat liczby pierwszej!

Słuszna uwaga:D.

Trzeba to złożyć do kupy i powinno działać -"mała hipoteza goldbacha"