Matematyka.pl

Mamy 7 turystów w każdej z 3 wycieczek. Na ile sposobów mogą utworzyć 3 uporządkowane kolejki jeśli turyści są rozróżnialni?

Mam 2 odpowiedzi.

1) \(\displaystyle{ (21+2)! \over 2}\) to wydaje mi się błędne, bo chyba uwzględnia puste kolejki - "separatory" kolejek mogą być obok siebie (mam rację?)
2) \(\displaystyle{ 21! \cdot {{21-1} \choose {3-1}}}\) - najpierw porządkuję wszystkich 21 turystów, a potem dzielę na 3 niepuste grupy.

Które rozwiązanie jest poprawne (jeśli którekolwiek)?

vtvs pisze: 1) \(\displaystyle{ (21+2)! \over 2}\) to wydaje mi się błędne, bo chyba uwzględnia puste kolejki - "separatory" kolejek mogą być obok siebie (mam rację?)

To jest dobrze, jeśli dopuszczamy puste kolejki i zamiast ułamka jest symbol Newtona. Jeśli ich nie dopuszczamy, i chcemy w ten sposób rozwiązywać, to na obu końcach muszą być turyści a nie separatory, więc zamiast \(\displaystyle{ 21}\) mamy \(\displaystyle{ 19}\) miejsc, na których możemy coś ustawiać. Poza tym nie mogą separatory być obok siebie, więc odejmujemy te przypadki. Wynik to

\(\displaystyle{ {19+2 \choose 2} - 20!}\)

vtvs pisze: 2) \(\displaystyle{ 21! \cdot {{21-1} \choose {3-1}}}\) - najpierw porządkuję wszystkich 21 turystów, a potem dzielę na 3 niepuste grupy.

To by było dobre, gdyby \(\displaystyle{ {{21-1} \choose {3-1}}}\) było liczbą podziałów zbioru \(\displaystyle{ 21}\)-elementowego na \(\displaystyle{ 3}\) zbiory.


edit: Widzę teraz że bzdury jakieś napisałem. Bardzo przepraszam.

Jeśli chodzi o niepuste kolejki to wydaje mi się, że drugim sposobem uzyskamy wszystkie możliwe kolejki.
Jeśli chodzi o dorzucenie pustych kolejek, to obstawiałbym taki wynik:
\(\displaystyle{ 21!\cdot {{21+3 -1} \choose {3-1}}}\)
Co zgadza się z pierwszym. Samo zadanie jest jest zbyt jasno napisane. Nie zdziwiłbym się, że wynikiem byłoby coś w stylu: \(\displaystyle{ 7!\cdot 7!\cdot 7!\cdot 3!}\).